021 LO= LO=Z LO=BLO=B 2 LO= 2RLZRL B2 .ÐIỀU NÀY DẪN ÑẾN I1...

1 / 021 LO= LO=Z LO=bLO=b 2 LO= 2RLZRL b2 .ðiều này dẫn ñến I1 / 01 0 I/ 0 11 I0 1 /2 √LO=Z cosb2 √LO=bcos Z2√LO= cosNcos2cosZ2 cosb2 RL

2 RL

b25 LO= LO=Z LO=b b[\0 c\de1? p4RL

Zcos 2cosZ √2RLZ 2RL 2RLb 2 2 2Mặt khác, với chú ý ở bất ñẳng thức quen thuộc 2RLZ 2RL 2RLb ?

Ta có thể dễ dàng suy ra kết quả của bài toán. L

^ỜI

G

^IẢI

3 (VIMF). Do /, 0, 1 là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ñặt / S <, 0 < =, 1 = S S, <, = k 0Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 7 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/ 2k 2n 2mab ca bc a b c+ + +k n + m n + m k ≤ + +Không mất tính tổng quát, giả sử S là số ở giữa < và =. Theo bất ñẳng thức !, ta có + + = + + +k n m ka na k n mc2 2 2 2 2 2. .ab ca bc b c b+ + + + + + +k n m n m k k n k n m n m k+ +    ka na k n mc k n m1 2 2 2 1 2≤  + + + + + + + + + =  + + + + +  2 2b c b a b ck n k n m n m k m n m kDo ñó ta chỉ cần chứng minh + . 2 ( )( ) 2 ( ) 2( )( )c k n m+ ≤ ⇔ + + + + ≤ + +c k m k n m m n m n m k + +  m n m k⇔ + ≤ + ⇔ − − ≤

2

( )( ) 0k mn km kn k m k nBất ñẳng thức trên ñúng do S là số ở giữa < và =. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và / 0 1. + + = + + . Chứng minh rằng B

ÀI

O 8. Cho các số dương , , . Biết rằng a b c≤ ≤ ^{và a b c 1 1 1}a b c1≥ + −b 1a cMIC Staff 2009 – Vasile CirtoajeL

ỜI

G

IẢI

1 (MIC Staff). Từ giả thiết ? ? ta suy ra ? 0, hay là ? , từ ñó dẫn ñến 1 1 1 1 1,Suy ra

2 1

0,Và ta thu ñược ?1 √

^l

1 , hoặc 1 √

^l

1Mặt khác, ta thấy k mà

^*G√9

^r

₉

^G9

^s

^)*

t nên không thể xảy ra trường hợp ?

^*G√9

^r

₉

^G9

^s

^)*

. Như vậy, ta phải có 1 √

^l

1 1 √

1Hay là 1 1Bất ñẳng thức của ta ñược chứng minh xong. Dễ thấy rằng từ các lập luận trên ta có ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. L

ỜI

G

IẢI

2 (MIC Staff). ðặt /

₇

^*

, 0

^*

₉

, 1

^*

₍

thì ta phải chứng minh 0 ?

^*

₈

^*

_;

1 với / 0 1 k và / 0 1

^*

₈

*

:

^*

_;

. Từ giả thiết / 0 1

^*

₈

^*

_:

^*

_;

, ta suy ra ñược 4