CHO 0 <A,B,C <1 . CHỨNG MINH RẰNG 2A3 +2B3 +2C3 <3+A...
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng
2a
3
+2b3
+2c3
<3+a2
b+b2
c+c2
aGiải :
Do a < 1
⇒ a2
<1và
Ta có (
1−a2
)
.(
1−b)
<0⇒
1-b-
a2
+
a2
b > 0
⇒
1+
a2
b2
>
a2
+ b
mà 0< a,b <1
⇒a
2
>
a3
,
b2
>
b3
Từ (1) và (2)
⇒1+
a2
b2
>
a3
+
b3
Vậy
a3
+
b3
< 1+
a2
b2
T−ơng tự
b3
+
c3
≤1+b2
cc
3
+
a3
≤
1+c2
aCộng các bất đẳng thức ta có :
2a
3
+2b3
+2c3
≤3+a2
b+b2
c+c2
ab)Chứng minh rằng : Nếu
a2
+b2
=c2
+d2
=1998thì ac+bd =1998
(Chuyên Anh –98 – 99)
Giải:
Ta có (ac + bd)
2
+ (ad – bc )
2
= a
2
c
2
+ b
2
d2
+2abcd +a2
d2
+b2
c2
-
2abcd=
= a
2
(c
2
+d
2
)+b
2
(c
2
+d
2
) =(c
2
+d
2
).( a
2
+ b
2
) = 1998
2
rỏ ràng (ac+bd)
2
≤
(
ac+bd)
2
+(
ad−bc)
2
=19982
⇒ ac+bd ≤1998