CHO 0 <A,B,C <1 . CHỨNG MINH RẰNG 2A3 +2B3 +2C3 <3+A...

1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng

2a

3

+2b

3

+2c

3

<3+a

2

b+b

2

c+c

2

a

Giải :

Do a < 1

a

2

<1

Ta có (

1−a

2

)

.

(

1−b

)

<0

1-b-

a

2

+

a

2

b > 0

1+

a

2

b

2

>

a

2

+ b

mà 0< a,b <1

a

2

>

a

3

,

b

2

>

b

3

Từ (1) và (2)

1+

a

2

b

2

>

a

3

+

b

3

Vậy

a

3

+

b

3

< 1+

a

2

b

2

T−ơng tự

b

3

+

c

3

≤1+b

2

c

c

3

+

a

3

1+c

2

a

Cộng các bất đẳng thức ta có :

2a

3

+2b

3

+2c

3

≤3+a

2

b+b

2

c+c

2

a

b)Chứng minh rằng : Nếu

a

2

+b

2

=c

2

+d

2

=1998

thì ac+bd =1998

(Chuyên Anh –98 – 99)

Giải:

Ta có (ac + bd)

2

+ (ad – bc )

2

= a

2

c

2

+ b

2

d

2

+2abcd +a

2

d

2

+b

2

c

2

-

2abcd

=

= a

2

(c

2

+d

2

)+b

2

(c

2

+d

2

) =(c

2

+d

2

).( a

2

+ b

2

) = 1998

2

rỏ ràng (ac+bd)

2

(

ac+bd

)

2

+

(

adbc

)

2

=1998

2

ac+bd ≤1998