... ....22+ ≥NNTÓM LẠI CÁC B−ỚC ĐỂ CHỨNG MINH A≥B THO ĐỊNH NGHĨA...

Question

1 .... ....2+ ≥nTóm lại các b−ớc để chứng minh A≥B tho định nghĩa      B−ớc 1: Ta xét hiệu  H = A - B      B−ớc 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2     B−ớc 3:Kết luận A ≥ B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp  98-99)     Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có        m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)        Giải:   − +2 204 1+≥⇔ m mm mpm mnpm mqq4  − (luôn đúng) 2 1 +⇔ m ≥m nm pm q22 0n m=−p mmDấu bằng xảy ra khi  ⇔ ⇔1q m22       ph−ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi t−ơng đ−ơng L−u ý:        Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đ` đ−ợc chứng minh là đúng.     Chú ý các hằng đẳng thức sau:         (A+B)2 = A2 +2AB+B2        (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2AC+2BC        (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2 +B3   Ví dụ 1:   Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng        a)  b aba + ≥       b)a2 +b2 +1≥ab+a+b       c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)        a)  b ab        ⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0        ⇔(2a−b)2 ≥0      (bất đẳng thức này luôn đúng) 2     (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)         Vậy b ab       b)    a2 +b2 +1≥ab+a+b         ⇔2(a2 +b2 +1 )>2(ab+a+b)         ⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0         ⇔(a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 ≥0        Bất đẳng thức cuối đúng.        Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b      Dấu bằng xảy ra khi a=b=1         c)      a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d +e)      ⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d+e)             ⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad +4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0      ⇔ (a−2b)2 +(a−2c)2 +(a−2d)2 +(a−2c)2 ≥0       Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:        Chứng minh rằng:  (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)       Giải:  (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)   ⇔ a12 +a10b2 +a2b10 +b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12     ⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0   ⇔  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  ≥ 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh  Ví dụ 3:  cho x.y =1 và x.y     + 2yxChứng minh  ≥2 2Giải: ≥2 2  vì :x〉y  nên  x- y 〉 0   ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)    ⇒  x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0  vì x.y=1  nên 2.x.y=2 ⇒(x-y- 2)2  ≥  0   Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4:

Answer

1 .... ....2+ ≥nTóm lại các b−ớc để chứng minh A≥B tho định nghĩa      B−ớc 1: Ta xét hiệu  H = A - B      B−ớc 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2     B−ớc 3:Kết luận A ≥ B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp  98-99)     Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có        m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)        Giải:   − +2 204 1+≥⇔ m mm mpm mnpm mqq4  − (luôn đúng) 2 1 +⇔ m ≥m nm pm q22 0n m=−p mmDấu bằng xảy ra khi  ⇔ ⇔1q m22       ph−ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi t−ơng đ−ơng L−u ý:        Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đ` đ−ợc chứng minh là đúng.     Chú ý các hằng đẳng thức sau:         (A+B)2 = A2 +2AB+B2        (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2AC+2BC        (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2 +B3   Ví dụ 1:   Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng        a)  b aba + ≥       b)a2 +b2 +1≥ab+a+b       c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)        a)  b ab        ⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0        ⇔(2a−b)2 ≥0      (bất đẳng thức này luôn đúng) 2     (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)         Vậy b ab       b)    a2 +b2 +1≥ab+a+b         ⇔2(a2 +b2 +1 )>2(ab+a+b)         ⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0         ⇔(a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 ≥0        Bất đẳng thức cuối đúng.        Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b      Dấu bằng xảy ra khi a=b=1         c)      a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d +e)      ⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d+e)             ⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad +4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0      ⇔ (a−2b)2 +(a−2c)2 +(a−2d)2 +(a−2c)2 ≥0       Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:        Chứng minh rằng:  (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)       Giải:  (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4)   ⇔ a12 +a10b2 +a2b10 +b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12     ⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0   ⇔  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  ≥ 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh  Ví dụ 3:  cho x.y =1 và x.y     + 2yxChứng minh  ≥2 2Giải: ≥2 2  vì :x〉y  nên  x- y 〉 0   ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)    ⇒  x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0  vì x.y=1  nên 2.x.y=2 ⇒(x-y- 2)2  ≥  0   Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: