CHO X≥0,Y≥0 THỎA M`N 2 X− Y =1 ;CMR

4)Cho x

≥0

,y

≥0

thỏa m`n

2 x− y =1

;CMR: x+y

5

ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và

a

²

+b

²

+c

²

=1

chứng minh rằng

3

3

3

1a b c2+ + +b c+a c+a b ≥

Giải:

≥a

²

²

²

bc

Do a,b,c đối xứng ,giả sử a

^≥

b

^≥

c

⇒

a≥ ++

áp dụng BĐT Trê- b−-sép ta có

.311

=

 c cb ba a .



2

=

..

²

²

²

²

²

. 33+ ++ a b

3

3

1a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

Vậy

+ ≥+ + a b

ví dụ 4:

Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

( ) ( ) ( )

10

2

2

+b +c +d +a b+c +b c+d +d c+a ≥

Giải:

Ta có

a

²

+b

²

≥2ab

c

²

+d

²

≥2cd1

(dùng

1 ≥

Do abcd =1 nên cd =

+ xx

)

ab

Ta có

1 ) 4

2

+ + ≥ + = + ≥

2

2()cda

(1)

ab ab

Mặt khác:

a

(

b+c

)

+b

(

c+d

)

+d

(

c+a

)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

 +

=

1 1 1 2 2 2+≥bc bcac ac

Vậy

a

²

+b

²

+c

²

+d

²

+a

(

b+c

)

+b

(

c+d

)

+d

(

c+a

)

≥10

ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

(a+c)

²

+(b+d)

²

≤ a

²

+b

²

+ c

²

+d

²

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

tacó ac+bd

^≤ a

²

+b

²

. c

²

+d

²

mà (

a+c

)

²

+

(

b+d

)

²

=a

²

+b

²

+2

(

ac+bd

)

+c

²

+d

²

(

a

²

+b

²

)

+2 a

²

+b

²

. c

²

+d

²

+c

²

+d

²

≤⇒ (a+c)

²

+(b+d)

²

≤ a

²

+b

²

+ c

²

+d

²

ví dụ 6: Chứng minh rằng

a

²

+b

²

+c

²

≥ab+bc+ac

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

(

1

²

+1

²

+1

²

)

(a

²

+b

²

+c

²

)≥

(

1.a+1.b+1.c

)

²

^⇒

3 (

a

²

+b

²

+c

²

)

≥a

²

+b

²

+c

²

+2

(

ab+bc+ac

)

^⇒a

²

+b

²

+c

²

≥ab+bc+ac

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Ph−ơng pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu

L−u ý: A>B và b>c thì A>c

0< x <1 thì x

²

<x

ví dụ 1:

Cho a, b, c ,d >0 thỏa m`n a> c+d , b>c+d

Chứng minh rằng ab >ad+bc

Giải:

0−>da

^⇒

Tacó



^⇒

(a-c)(b-d) > cd

^⇔

ab-ad-bc+cd >cd

⇔

ab> ad+bc (điều phải chứng minh)

ví dụ 2:

2

5

2

+ b + c =

Cho a,b,c>0 thỏa m`n

a

3

1+ + <

Chứng minh

abc

Giải:

Ta có :( a+b- c)

²

= a

²

+b

²

+c

²

+2( ab –ac – bc)

^〉

0

1

( a

²

+b

²

+c

²

)

^⇒

ac+bc-ab

〈1+ − 〈

≤ 5 〈

1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có

⇒

ac+bc-ab

6

ví dụ 3

Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

Giải:

Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab

Do a>0 , b>0 nên ab>0

⇒

(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)

Do c <1 nên 1- c >0 ta có

⇒

(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

^⇒

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

⇒

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(Điều phải chứng minh)

ví dụ 4