7. TÌM CÁC HỌ NGUYÊN HÀM SAUZZZ X 3X 3 + 1DX.X 5 PX (X − 1) 2012 DX....

8.7. Tìm các họ nguyên hàm sau

Z

Z x ³

x ³ + 1dx.

x ⁵ p

x (x − 1) ²⁰¹² dx. b) I =

a) I =

x ² + 1 dx. c) I =

Z 2 ln x − 1

Z e ^2x

√ e ^x + 1 dx. e) I =

d) I =

sin ³ x √

1 + cos xdx.

x ln x dx. f) I =

Lời giải.

a) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có

du

I =

u ²⁰¹³ + u ²⁰¹²

(u + 1)u ²⁰¹² du =

= u ²⁰¹⁴

2014 + u ²⁰¹³

2013 + C = (x − 1) ²⁰¹⁴

2014 + (x − 1) ²⁰¹³

2013 + C

b) Đặt u = x ² + 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có

Z

Z u − 1

Z x ² x

1 − 1

2

u

x ² + 1 dx = 1

u du = 1

− 1

+ C

= 1

2 (u − ln |u|) + C = 1

2 x ² + 1

2 ln x ² + 1

c) Đặt u = √

x ³ + 1 ⇔ u ² = x ³ + 1 ⇒ 2udu = 3x ² dx. Ta có

x ³ x ² p

u ⁴ − u ²

x ³ + 1dx =

u 2u

u ² − 1

3

3 du = 2

x ³ + 1 ³

x ³ + 1 ⁵

u ⁵

+ C = 2 √

= 2

15 + 2 √

9 + C

5 + u ³

d) Đặt u = √

e ^x + 1 ⇔ u ² = e ^x + 1 ⇒ 2udu = e ^x dx. Ta có

Z u ² − 1

Z e ^x .e ^x

√ e ^x + 1 dx =

u 2udu = 2

u ³

e ^x + 1 ³

e ^x + 1 + C

3 − u

3 − 2 √

e) Đặt u = ln x ⇒ du = 1

x dx. Ta có

Z 2u − 1

2 − 1

u du =

= 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C

f) Đặt u = √

1 + cos x ⇔ u ² = 1 + cos x ⇒ 2udu = − sin xdx. Ta có

sin ² x sin x √

1 + cos xdx =

1 − cos ² x √

1 + cos x sin xdx

u ⁶ − 2u ⁴

2u ² du = 2

−u ⁴ + 2u ²

u.2udu = −

1 − u ² − 1 ²

= −

u ⁷

1 + cos x ⁷

1 + cos x ⁵

7 − 2u ⁵

5

7 − 4 √

5 + C