TÌM CÁC HỌ NGUYÊN HÀM SAUZZZ(X − 1) E X DX. B) I =X COS XDX. C) I...

8.8. Tìm các họ nguyên hàm sau

Z

(x − 1) e ^x dx. b) I =

x cos xdx. c) I =

a) I =

x ² ln xdx.

d) I =

ln (2x + 1) dx. e) I =

x ² e ^2x−1 dx. f) I =

e ^x sin xdx.

Lời giải.

du = dx

u = x − 1

a) Đặt

v = e ^x . Ta có

dv = e ^x dx ⇒

e ^x dx = (x − 1)e ^x − e ^x + C = (x − 2)e ^x + C

I = (x − 1)e ^x −

u = x

b) Đặt

dv = cos xdx ⇒

v = sin x . Ta có

I = x sin x −

sin xdx = x sin x + cos x + C

u = ln x

du = ¹ _x dx

c) Đặt

dv = x ² dx ⇒

v = ^x ₃

. Ta có

1

Z x ³

I = x ³

x ² dx = x ³

9 + C

3 ln x − x ³

3

3 ln x − 1

x dx = x ³

3 ln x −

u = ln(2x + 1)

du = _2x+1 ² dx

d) Đặt

dv = dx ⇒

v = x . Ta có

Z 2x

Z

1 − 1

I = x ln(2x + 1) −

dx = x − 1

2x + 1

2 ln |2x + 1| + C

2x + 1 dx =

du = 2xdx

u = x ²

e) Đặt

dv = e ^2x−1 dx ⇒

v = ¹ ₂ e ^2x−1 . Ta có

I = 1

xe ^2x−1 dx = 1

2 x ² e ^2x−1 −

2 x ² e ^2x−1 − I ₁

Đặt

e ^2x−1 dx = 1

I ₁ = 1

2 xe ^2x−1 − 1

2

4 e ^2x−1 + C

1

+ C = 1

Vậy I = 1

e ^2x−1 + C.

4 2x ² − 2x + 1

4 e ^2x−1

du = e ^x dx

u = e ^x

f) Đặt

dv = sin xdx ⇒

v = − cos x . Ta có

I = −e ^x cos x +

e ^x cos xdx = −e ^x cos x + I 1

Lại đặt

I 1 = e ^x sin x −

e ^x sin xdx = e ^x sin x − I

Vậy I = −e ^x cos x + e ^x sin x − I ⇔ I = 1

2 e ^x (sin x − cos x) + C.

§3. Tích Phân