29. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH RA BỞI HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN...

8.29. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox

a) y = ¹ ₃ x ³ − x ² , y = 0, x = 0 và x = 3. b) (BĐT-42) y = xe ^x , x = 1 và trục hoành.

c) (B-07) y = x ln x; y = 0 và x = e. d) y = 4 − x ² và y = x ² + 2.

Lời giải.

a) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

y

3

1

2

Z

dx

dx = π

V _x = π

3 x ³ − x ²

9 x ⁶ − 2

3 x ⁵ + x ⁴

O 2 x

0

x ⁷

= π

= 81π

y = ¹ ₃ x ³ − x ²

35 (đvtt).

9 + x ⁵

63 − x ⁶

5

b) Vì xe ^x = 0 ⇔ x = 0 nên thể tích khối tròn xoay cần tìm là

1

V x = π

(xe ^x ) ² dx = π

x ² e ^2x dx

u = x ²

du = 2xdx

Đặt

dv = e ^2x dx ⇒

v = ¹ ₂ e ^2x . Ta có

e y = xe ^x

− π

xe ^2x dx

xe ^2x dx = πe ²

2 − π

2 x ² e ^2x

u = x

du = dx

O 1 x

Lại đặt

(đvtt).

e ^2x dx = π

+ π

V x = πe ²

2

4 e ^2x

4 e ² − 1

2 xe ^2x

c) Vì x ln x = 0 ⇔ x = 1 nên thể tích khối tròn xoay cần tìm là

e

(x ln x) ² dx = π

x ² ln ² xdx

du = _x ² ln xdx

u = ln ² x

dv = x ² dx ⇒

v = ^x ₃

. Ta có

y = x ln x

x ³ ln xdx

x ³ ln xdx = πe ³

3 − 2π

3 x ³ ln ² x

1 − 2π

O 1 e x

u = ln x

du = ¹ _x dx

V x = πe ³

+ 2π

x ² dx = πe ³

3 − 2πx ³ ln x

9

9 + 2πx ³

27

27 5e ³ − 2

y = x ² + 2

d) Ta có 4 − x ² = x ² + 2 ⇔ x = ±1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khối

tròn xoay cần tìm là

y = 4 − x ²

h

− x ² + 2 ² i

4 − x ^{2 2}

−1

O x

−1 1

= 16π (đvtt).

= 12π

x − x ³

dx = 12π

1 − x ²