8.30. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Oy
a) (BĐT-63) y = 2x − x 2 và y = 0. b) y = x 2 , y = 27 x và y = x 27
2.
c) y 2 = (x − 1) 3 và x = 2. d) 4y = x 2 và y = x.
Lời giải.
a) Ta có y = 2x − x 2 ⇔ (x − 1) 2 = 1 − y ⇔ |x − 1| = p
1 − y nên với x ≥ 1 thì x = 1 + √
1 − y; với x < 1 thì
1 − y ⇔ y = 1. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là
1 − y. Khi đó 1 + √
1 − y = 1 − √
x = 1 − √
1
Z
p 1 − ydy
−
V y = π
1 + p
1 − y 2
1 − p
1 − y 2
dy = 4π
0
y
1 − y ⇔ u 2 = 1 − y ⇒ 2udu = −dy.
Đặt u = √
Đổi cận: y = 0 ⇒ u = 1; y = 1 ⇒ u = 0. Ta có
1 y = 2x − x 2
u.2udu = 8πu 3
= 8π
V y = 4π
O x
−2 2
3
3 (đvtt).
b) Từ hình vẽ thấy rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 ; y = x 2
27 và y = 27
x nằm ở góc phần tư
thứ nhất. Do đó xét x, y ≥ 0 ta có y = x 2 ⇔ x = √
y, y = x 2
27y và xét x, y > 0 ta có y = 27
27 ⇔ x = p
x ⇔ x = 27
y .
Khi đó √
27y = 27
y = p
y = 27
27y ⇔ y = 0; √
y ⇔ y = 9 và p
y ⇔ y = 3. Dựa vào hình vẽ ta có thể tích khối tròn
xoay cần tìm là
9
2
27
p
dy − π
dy + π
27y 2
( √
V y = π
y) 2 dy
2 x
y = 27 x
y =
ydy + 729π
ydy
= 27π
y 2 dy − π
y = x 27
2− 729π
= 243π (đvtt).
+ y 2
= 27πy 2
2
−3
−9
3 9
Bạn đang xem 8. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
