8.28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
x 2 − 4x + 3
a) (A-02) y =
và y = x + 3. b) (BĐT-96) y 2 = 2x và 27y 2 = 8(x − 1) 3 .
c) y = x 3 ; x + y = 2 và trục hoành. d) y = 27 x ; y = x 27
2 và y = x 2 .
Lời giải.
x = 0
x = 1
a) Vì
= x + 3 ⇔
x = 5 và x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔
x = 3
nên diện tích hình phẳng cần tìm là
1
5
y
y =
Z
x 2 − 4x + 3
S =
dx
− (x + 3)
dx +
| x
0
8
− 2
4 x
+
3 |
3
y = x + 3
x 2 − 5x
−x 2 + 3x − 6
=
O 1 3 5 x
dx
x 2 − 3x + 6
5x − x 2
dx +
5x 2
x 3
= 109
3 − 3x 2
6 (đvdt).
2 − x 3
2 + 6x
p
3b) Ta có y 2 = 2x ⇔ x = 1 2 y 2 , 27y 2 = 8(x − 1) 3 ⇔ x = 1 + 3
y 2 .
2
− 3 p
32 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
y 2 + 2 = 0 ⇔ y = ±2 √
y 2 3
Vì 1
y 2 ⇔
2 y 2 = 1 + 3
2 √
y 2 = 2 x
dy
y 2 + 2 − y 2
3 p
3y 2
dy = 1
1 + 3
27y 2 = 8(x − 1) 3
2 y 2 −
−2 √
O x
4
!
y 5
9 p
3= 1
= 88 √
15 (đvdt).
5 + 2y − y 3
Nhận xét. Ở bài tập trên việc rút ẩn y theo ẩn x là khó khăn do đó đưa diện tích cần tính về tích phân theo biến
y là phù hợp.
c) C1: Ta có y = x 3 ⇔ x = √
3y, x + y = 2 ⇔ x = 2 − y. Vì √
3y = 2 − y ⇔
y = (2 − y) 3 ⇔ y = 1 nên diện tích hình phẳng cần tìm là
| √
3(2 − y − √
3y) dy
y − (2 − y)| dy =
3 x
y 4
= 3
= 2y − y 2
4 (đvdt).
2 − 3 p
3C2: (Cần phải vẽ hình)
Ta có x + y = 2 ⇔ y = 2 − x. Khi đó x 3 = 0 ⇔ x = 0; 2 − x = 0 ⇔ x = 2 và
+ y
1 x
x 3 = 2 − x ⇔ x = 1. Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
= 2
2x − x 2
x 3 dx +
(2 − x) dx = x 4
d) Ta có x 2 = x 2
x ⇔ x = 9. Dựa
27 ⇔ x = 0, x 2 = 27
27 = 27
x ⇔ x = 3 và x 2
vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
9
2 x
27
y = 27 x
x 2 − x 2
27
x − x 2
= 27 ln 3 (đvdt).
27 ln |x| − x 3
y = x 27
281
3 − x 3
3 9
Bạn đang xem 8. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
