2, 2 3, 0, 2Y X Y   X  X  X GIẢIĐẶT F X ( )  X G X2, ( )  2 X...

2

, 2 3, 0, 2

y x y   x  x  x 

Giải

Đặt f x ( )  x g x

²

, ( )  2 x  3 ta đi xét dấu f x ( )  g x ( )

f x g x x x x

  

2

1 [0;2]

( ) ( ) 0 2 3 0

          

3 [0;2]

x

Ta có

BXD:

x 0 1

2

( ) ( )

f x  g x - / +

Vậy diện tích hình phẳng đã cho

2 1 22 2 2

2 3 2 3 2 3

S   x  x  dx   x  x  dx   x  x  dx

0 0 11 23 3

3 3 5 7 4

x x

   

2 2

x x x x

            

3 3 3 3

   

0 1

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

=

³

+ - =

²

y x 11x 6, y 6x , ^{x = 0, x = 2} .

=

³

+ - -

²

=

³

-

²

+ -

h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6

= Û = Ú = Ú =

h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại).

Bảng xét dấu

x 0 1 2

h(x) – 0 + 0

= - ò - + - + ò - + -

3 2 3 2

S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx

æ ö ÷ æ ö ÷

x 11x x 11x 5

4 2 4 2

ç ç

2x 6x 2x 6x

= - ç ç è - + - ÷ ÷ ÷ ø + ç ç è - + - ÷ ÷ ÷ ø =

4 2 4 2 2 .

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

3

3

2

3,

3

4

2

4

y x   x  x  y  x  x   x và hai đường thẳng x  0, x  2

Giải

Đặt: f x ( )  x

³

 3 x

²

 x  3, ( ) g x  x

³

 4 x

²

  x 4

1 [0;2]

 

 



           

3 2

( ) ( ) 0 2 2 1 0 1 [0;2]

f x g x x x x x

  

 

Vậy diện tích cần tính là

3 2 3 2 3 2

(2 2 1) (2 2 1) (2 2 1) 7

S   x  x  x  dx   x  x  x  dx   x  x  x  dx 

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x 

²

 2 , x y x 

²

 1, x  1, x  2

2 1 0 1

x    x  2

Phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích cần tính là

1 2 2 2 2 2 2 2

2 1 (2 1) (2 1) 13

   

             

1 1

S x dx x dx x dx x x x x 2

  2

Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x)

Phương pháp

Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn ^{é ë a b ; ù û} Trong đó ^{a b ,} là

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) .

b

ò ^{f(x) g(x) dx S}

- =

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

.

a

Ví dụ 0: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y x 

²

,   2

Đặt f x ( )  x g x

²

, ( )   x 2

 

2

1

( ) ( ) 0 2 0

         

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là

2 2 3 2 2

 

2 ( 2) 2 ...

S x x dx x x dx x

           

 

3 2

 

1 1 1

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  ( x  1)ln x và

đường thẳng y x   1.

+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 ^ x = 1 hoặc x = e.

+ Diện tích cần tìm là:

e e e

S   x  x  dx   x  x  dx   x  d x  x 

( 1)(ln 1) ( 1)(ln 1) (ln 1) ( )

1 1 1

2 2

1 1

( )(ln 1) | ( 1) |

x x dx  x x 

          



2 2 2 4

1

2 4 5

e  e 

 (đvdt).

4

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ^{y = x , y}

³

^{= 4x} .

Phương trình hoành độ giao điểm: x

³

= 4x Û x = - Ú = Ú = 2 x 0 x 2

0 2

S x 4x dx x 4x dx

Þ = ò - + ò -

2 0-4 4

x x

= ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø + ç ç è - ÷ ÷ ÷ ø =

2x 2x 8