TRONG NHIỀU TRƯỜNG HỢP, BÀI TOÁN YÊU CẦU TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG...

2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

xn

   

S   f x  g x dx

 ^C

₁

 ^{: y  f x}   _,  ^C

₂

 ^{: y  g x}   . Khi đó, ta có công thức tính như sau:

x1

.

Trong đó: ^{x ,x}

^{1 n}

tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: ^{f x}   ^{ g x}   _.

II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

a. Tính thể tích của vật thể

Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng   P và   Q vuông góc với trục ^Ox lần lượt tại

 

x  a,x  b a  b

. Một mặt phẳng bất kì vuông góc với ^Ox tại điểm ^{x a}  ^{  x b}  cắt C theo một

thiết diện có diện tích S x   . Giả sử S x   là hàm liên tục trên ^{  a; b  } . Khi đó thể tích của vật thể C

b

V   S x dx

giới hạn bởi hai mp   ^P _và   ^Q được tính theo công thức:

.

a

b. Tính thể tích vậy tròn xoay

Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền ^D được giới hạn bởi các đường

y  f x ; y  0; x a; x   b

quanh trục ^Ox

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với ^Ox tại điểm có hoành độ bằng

x là một hình tròn có bán kính ^{R  f x}   nên diện tích thiết diện bằng

 

^{2 2}

 

S x  R  f x

. Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

y

b b2

V   S x dx   f x dx

a a

y f x   

a _b

x

O

Chú ý:

Nếu hình phẳng ^D được giới hạn bởi các đường ^y  f x , y g x ,      x a, x   b (Với

f x .g x  0 x     a; b   ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay ^D quanh trục ^Ox được tính

bởi công thức:

b 2 2

V   f x  g x dx

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ^D giới hạn bởi các đường

b 2

V   g y dy

x g y , y   a, y  b, Oy

quanh trục ^Oy được tính theo công thức:

Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm được x theo y thì ta có thể giải bài toán theo

cách sau.

Chứng minh hàm số ^{y f(x) } liên tục và đơn điệu trên ^{[c; d]} với

   

c  min g(a),g(b) ,d  max g(a),g(b) . Khi đó phương trình ^{y f(x) } có duy nhất nghiệm

x g(y)  .

d 2

V   x f '(x)dx

Thực hiện phép đổi biến x g(y),dy f '(x)dx   ta có:

c

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

= = =

y f(x), x a, x b và trục hoành

Phương pháp

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

ò =

f(x) dx S

.

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

Ví dụ 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ^{y = x}

²

^{+ x = 0, x = 2} và Ox.

Giải

Trên ^[0;2] ta có ^x

²

^{   0 x [0;2]}

2 2 2

1 8

2 2 3

S   x dx   x dx  x 

3 3

Vậy diện tích hình phẳng đã cho

0 0 0

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

= -

²

+ - = =

y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox.

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

1 1 3

( ) ( )

S x 4x 3dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx

= ò - + - = - ò - + - + ò - + -

0 0 11 3

æ ö ÷ æ ö ÷

x x 8

3 3

ç ç

2x 3x 2x 3x

= - - ç ç è + + ÷ ÷ ÷ ø + - ç ç è + + ÷ ÷ ÷ ø =

2 2

3 3 3 .

0 1

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ^{y = lnx, x = 1, x = e} và Ox.

e ee

( )

S lnx dx lnxdx x lnx 1 1

= ò = ò = - =

1

Do lnx ^³ 0 x " Î ë û ^é 1; e ^ù nên:

1 1

ln

2

x

y  x

, ^{y 0, }

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x 1,x e.  

ln x

2

0, x 1;e

x   

Vì:  

nên diện tích hình phẳng cần tìm là:

e 2 e 2

ln x ln x

S dx dx

   

x x

1 1

t ln x dt 1 dx

   x

Đặt:

Đổi cận: Với x 1  ta được t 0 

Với x e  ta được t 1 

S t dt 1 t