[HSG-HÀ NỘI 2021-2022] B) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 22 52 4 4 1 2 3...

Câu 2. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] b) Giải hệ phương trình

²

₂

5

₂

4 4 1

²

3 4  . x y25Lời giải   xĐiều kiện: 1 5  0 5y ^.  Ta có x

²

5x 4 4 x 1 y

²

3y4 y x

²

2x  1 3 3x4 x 1 y

²

3y4 y



x 1



²

3



x 1



4 x 1 y

²

3y 4 y

 

*         .  Xét hàm số f t

 

 t

⁴

3t

²

4t với t0.Ta có ^{f t}

 

^4t

³

^{ 6t 4; f}

 

^{t 12t}

²

^6.              . Khi đó

 

^{0 12}

²

^{6 0}

²

^{1 2 2 4 2 2 0}f t t t t f  2 2 2Suy ra ^{f t}

 

^4t

³

^{    6t 4 0, t 0.}Vậy hàm số ^{f t}

 

^{ t}

⁴

^3t

²

^4t đồng biến với mọi t0. Ta có

 

^{*  f}



^{x 1}

  

^{f y  x 1 y   y x 1.} Thay y x 1 vào phương trình x

²

y

²

25 ta được              .

 

²

 

2

2

4 3x x x x1 25 12 03 lo¹iKết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

   

^{x y;  4;3 .}