[HSG-HÀ NỘI 2021-2022] CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI M2 HÀM SỐ F X(...

Câu 1. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chứng minh rằng với mọi m2 hàm số f x( )=

2

  có đúng 4 2 3x xcực trị. Lời giải   g x g x1x mx  . Cách 1. Đặt g x( )= y g x   y g x( ) ( ). ( )( )Số điểm cực trị của hàm số y g x( ) là số nghiệm của phương trình: g x g x( ). ( ) 0  . Xét g x( ) 0 x

²

mx 1 0. Ta thấy ac    1 0, m g x( ) 0 luôn có 2 nghiệm bội lẻ (1). Xét g x( ) 0 .               

2

2

2

(2x m x)( 2x 3) (2x 2)(x mx 1) 0 (2 m x) 8x 3m 2 0 2m           Do

₂

₂

2 32' 16 (2 )(3 2) 3 4 12 3( ) 0m m m m m3 3nên g x'( ) 0 cũng có 2 nghiệm bội lẻ (2). Từ (1) và (2) ta có hàm số y=   có đúng 4 điểm cực trị (ĐPCM) Cách 2. Đặt g x( )= Số điểm cực trị của hàm số y g x( ) là số nghiệm của phương trình: g x g x( ). '( ) 0Nhận xét: g x'( ) cũng bậc 2, nếu g x'( ) không đổi dấu thì g x( ) 0 chỉ có tối đa 1 nghiệm. (loại) Do đó: g x'( ) phải đổi dấu, tức là g x'( )phải có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có đúng 4 cực trị.