(2,0 ĐIỂM)  X Y TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Câu 6: (2,0 điểm)  x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   Cho các số thực x y, thỏa mãn 1, ;1 .2 6 3 .

5

5

 

    

2

2

x yP x y xy  x yHướng dẫn giải: Ta có x y, 1 nên:



^x1



^y1



^{0 xyxy1}Khi đó ^x

²

^y

²

^



^xy



²

^2xy



^xy



²

^2



^{x y 1}

 

^{ xy}



²

^2



^xy



^{2 (1)}Và:

⁵

⁵



⁴

⁴



^.1



²

²



²

¹

^{ }

⁴

¹

^

¹

^{ }

⁴

          x y xy xy x y xy x y xy x y x y x y (2) 2 8 8Từ các đánh giá (1) và (2) nên ta có: 1 6

4

  

1 3      P x y x y x y

2

     

8 2 2   x y x y . x y nên ^t



^{1; 2 .}



Đặt t x y. Do 1, ;1    Ta có

 

¹



¹



⁴

³

₂

⁶P f t t t tt t 6 Người giải đề: N.V.Sơn. DĐ: 01202626549 Xét hàm số ^{f t}

 

xác định và liên tục trên đoạn

 

^{1; 2 có:}

4

3

   12 1 12 1t t t t1 5 4 24

    ^{ }

      5 4 3f t t t8 2 2 8 2 2   

3

3

   

t t t  5 2 6 8t t t t t    5 2 6 24 12 1 12 18 2 2 8 3 2 2    

3

2

    2 5 6 12 24 12 1  8 3 1 1   t12 1 3  t t t t t do t

2

2

2

2

1 1 2 1 1 1 4 1 3 ( 2)Ta có

         

                  1 1 112 1    3 0, 1; 2 .Suy ra:

 

 

2

2

 

1 1Vậy ^f

 

^{t 0,  t}



^{1; 2 .}



Nên hàm số ^{f t}

 

nghịch biến trên đoạn

 

^{1; 2 .} Do đó ^{f t}

 

^{ f}

 

^{2  1.}Vậy P 1.Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 đạt được khi và chỉ khi xy1.