ĐẶT A M' =X A C BN. ' ; = Y BD.TA CÓ AM = AA'+ A M' = AA'+X A C....
3. Đặt
A M
'
=
x A C BN
. ' ;
=
y BD
.
Ta có
AM
=
AA
'
+
A M
'
=
AA
'
+
x A C
. '
=
(
x
; 2 ; 3
x
−
3
x
)
, suy ra
(
; 2 ; 3
3
)
M x
x
−
x
(
)
(
)
.
1
; 2 ; 0
1
; 2 ; 0
AN
=
AB
+
BN
=
AB
+
y BD
=
−
y
y
N
−
y
y
=
M N A C
Theo giả thiết của để bài, ta có:
.
'
0
=
( )
M N BD
.
0
Mà
MN
=
(
1
− −
x
y
; 2
y
−
2 ; 3
x
x
−
3
)
,
A C
'
=
(
1; 2; 3
−
)
,
BD
= −
(
1; 2; 0
)
Khi đó
( )
trở thành
53
− − +
−
−
+ =
−
+
= −
x
y
y
x
x
x
y
x
1
4
4
9
9
0
14
3
10
61
− + + +
−
=
−
+
=
=
x
y
y
x
x
y
1
4
4
0
3
5
1
44
y
61
Do đó
53 106 24
;
;
,
17 88
;
; 0
M
N
61
61
61
61 61
.
Vì
M N
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
A C BD
' ,
(
' ,
)
(
1
)
2
(2
2 )
2
(3
3)
2
6 61
d A C BD
=
M N
=
− −
x
y
+
y
−
x
+
x
−
=
61
.
Ví dụ 5.7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
=
=
,
2
B AB
BC
a
; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song
với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SN theo a Đề thi ĐH khối A – 2011
Lời giải.
Vì hai mặt phẳng
(
SAB
)
và
(
SAC
)
cùng vuông góc với mặt phẳng
(
ABC
)
nên suy ra
SA
⊥
(
ABC
)
.
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Chọn hệ trục tọa độ như
z
hình vẽ, đặt
SA
=
x x
,
0
S
Vì
MN
/ /
BC
N
là
trung điểm cạnh
AC
Tọa độ các đỉnh là:
(0; 0; 0), (2 ; 0; 0),
B
A
a
(
0; 2 ; 0 , (2 ; 0; ),
)
C
a
S a
x
(
; 0; 0 ,
) (
; ; 0
)
B
M a
N a a
C
M
N
A
x
Suy ra
BS
=
(
2 ; 0;
a
x
)
,
BC
=
(
0; 2 ; 0
a
)
BS BC
,
= −
(
2
ax
; 0; 4
a
2
)
Do đó
n
=
(
x
; 0; 2
−
a
)
là VTPT của mặt phẳng
(
SBC
)
k
=
(0; 0;1)
là VTPT của mặt phẳng
(
ABC
)
Theo giả thiết ta có:
.
1
2
1
n k
a
0
2
2
=
=
=
=
=
x
a
x
a
cos 60
12
2
3
2
2
+
n
k
x
a
.
4
Vì
M N
,
là trung điểm của
AB CB
,
nên
1
3
3
2
S
=
S
S
=
S
=
a
AM N
ABC
BM N C
ABC
4
4
2
Từ đó suy ra thể tích khối chóp
S BMNC
.
là:
2
3
1
1
3
V
=
SA S
=
a
a
=
a
.
.
.2
3.
3
.
S BM N C
BM N C
3
3
2
Ta có:
BA
=
(
2 ; 0; 0 ,
a
)
SN
= −
(
a a
; ; 2
a
3 ,
)
BN
=
(
a a
; ; 0
)
Suy ra
BA SN
,
=
(
0; 4 3
−
a
2
; 2
a
2
)
BA SN
,
.
BN
= −
4 3
a
3
BA SN
BN
a
a
=
=
=
Vậy
(
,
)
,
.
4
3
3
2
2
13
39
d AB SN
,
2 13
BA SN
a
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP