2. Nâng cao
a) Khi ta nói x 2 ho ặc x 3 thì ta vi ết x 2
x 3
còn khi nói x 1 và x
4 thì ta vi ết x 1
x 4
.
b) V ới a 0 và x a thì ta suy ra x = a ho ặc x = -a.
c) V ới a
và x a thì suy ra x = a ho ặc x = -a.
d) N ếu a b 0 thì a b .
II. M ỘT SỐ VÍ DỤ
Ví d ụ 1. Cho t ập hợp A 3;2; 0 1;5;7 .
a) Vi ết tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A.
b) Vi ết tập C gồm các phần tử thuộc tập hợp A và là số dương.
c) Xác định quan hệ giữa các tập hợp A, C, N*, Z.
Gi ải
a) S ố đối của số -3 là 3; của số 2 là -2; của số 0 là 0; ...
V ậy B 3; 2; 0;1; 5; 7 .
b) Có 3 ph ần tử của tập hợp A là số nguyên dương, đó là: 2; 5; 7.
V ậy C 2;5;7 .
c) Ta có: C A
và C N*
.
Nh ận xét: S ố đối của –a là a. Vậy số đối của –a lại là a, tức là: a a .
N* là t ập hợp các số nguyên dương. Ta kí hiệu: Z* là tập hợp các số nguyên khác 0,
Z
+
là t ập hợp các số nguyên không âm (lớn hơn hoặc bằng 0),
Z
là t ập hợp các số
nguyên không dương (nhỏ hơn hoặc bằng 0) Z
*
là t ập hợp các số nguyên dương.
V ậy Z
*
N
*
.
Ví d ụ 2. Kh ẳng định sau là đúng hay sai? Nếu a b thì a b .
Gi ải
Kh ẳng định “Nếu a b thì a b ” là sai.
Ch ẳng hạn: Với a = 3; b = -7 thì a > b, tuy nhiên, vì a 3; b 7 7 nên
a b .
Nh ận xét: Để chứng tỏ một khẳng định nào đó là sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể
nào đó mà khẳng định sai. Ví dụ như thế được gọi là phản ví dụ.
Ví d ụ 3: Tìm x, y
, bi ết:
a) x 3 5 . b) x y 1 .
Gi ải
a) Ta có: |-3| = 3.
Do đó: x 3 5
x 5 – 3
x 2
x 2 ho ặc x 2 .
Đôi khi ta viết gộp là: x 2 .
b) Vì x 0 và y 0 nên ta có hai trường hợp:
• x 1 và y 0 :
Ta có: x 1 x 1 ho ặc x 1 .
y 0 y 0 .
• x 0 và y 1 :
Ta có: x 0 x 0
|y| = 1
y = 1 ho ặc y = -1.
V ậy bài toán trên có bốn đáp số sau đây:
x 1 -1 0 0
y 0 0 1 -1
Ví d ụ 4: Tìm x
, bi ết
a) x 3 . b) x 2 3 .
a) Vì |x| < 3 nên |x| 0;1;2
x 0; 1; 2 hay 3 x 3.
Nh ận xét: Trong trường hợp tổng quát ta cũng chứng minh được rằng:
V ới x
, a > 0 thì: |x| < a
-a < x < a và |x|
a a x a .
b) Ta có: x 2 3 x 2 3 x 5 .
|x| 6;7; 8;9;... x { 6; 7; 8; 9;... } .
x > 5 ho ặc x < -5 hay x 5
x 5
.
Nh ận xét: Trong trường hợp tổng quát ta cũng chứng minh được rằng:
.
V ới x
, a > 0 thì x a x a
x a
Ví d ụ 5: Tìm x
, bi ết: 6 < |x|
9.
Ta có: 6 < |x|
9 | x | 7; 8;9} { x { 7; 8; 9} hay 6 x 9
9 x 6
.
V ới x
,0 < a < b thì: a < |x| < b a x b
b x a
III. BÀI T ẬP
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề số nguyên -
