NÂNG CAO• ĐỂ KIỂM TRA SỐ A CÓ LÀ S Ố NGUYÊN TỐ HAY KHÔNG, TA CÓ T...

2. Nâng cao

• Để kiểm tra số a có là s ố nguyên tố hay không, ta có thể chia a l ần lượt cho các số

nguyên t ố 2;3; ;  p , v ới p là s ố nguyên tố lớn nhất thỏa mãn p ² ≤ a . N ếu không

có phép chia h ết nào thì a là s ố nguyên tố, trái lại a là h ợp số.

Ví d ụ. Để xét số 103 có là số nguyên tố hay không ta xác định 7 là số nguyên tố

l ớn nhất thỏa mãn 7 ² ≤ 103 ( vì s ố nguyên tố tiếp theo là 11 có 11 ² = 121 103 > ). Ta

chia 103 l ần lượt cho 2;3;5;7 và thấy không có phép chia hết nào. Vậy 103 là số

nguyên t ố.

• T ập hợp các số nguyên tố có vô hạn phần tử. Do vậy, không có số nguyên tố lớn

nh ất.

• N ếu số tự nhiên a phân tích ra th ừa số nguyên tố được:

a = p p  p , trong đó p p 1 , 2 ,  , p _k là các s ố nguyên tố khác nhau, thì số

1 ⁿ . 2 ⁿ _k ⁿ

ước của a là ( n 1 + 1 . ) ( n 2 + 1 ) (  n _k + 1 ) .

• Khi phân tích ra th ừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố

v ới số mũ chẵn. Từ đó ta cũng suy ra số chính phương có số ước là số lẻ.

• N ếu p là s ố nguyên tố và . a b p  thì ho ặc a p  ho ặc b p  .

• N ếu , p q là hai s ố nguyên tố mà a p  và a q  thì a p q  . .

II. M ỘT SỐ VÍ DỤ

D ạng 1. Các bài toán về ước và bội.

Ví d ụ 1. Cho m ột phép chia có số bị chia bằng 200 và số dư bằng 13. Tìm số chia và

thương.

Gi ải

G ọi số chia là b , thương là q . Vì s ố dư luôn nhỏ hơn số chia nên b > 13 .

Khi đó ta có phép chia: 200 = b q . + 13

. 200 13 187

⇒ b q = − =

⇒ ∈ b Ư ( ) ¹⁸⁷

Vì 187 = 11.17 và b > 13 nên ho ặc b = 17 ho ặc b = 187 .

− N ếu b = 17 thì q = 11 và ta có phép chia 200 = 17.11 13 + .

− N ếu b = 187 thì q = 1 và ta có phép chia 200 = 187.1 13 + .

Ví d ụ 2. Bi ết rằng số tự nhiên aaa ch ỉ có đúng ba ước khác 1, tìm chữ số a .

Ta có aaa = 111. a = 3.37. a

⇒ là các ước (khác 1) của aaa .

3;37;3.37

Để aaa có đúng ba ước khác 1 (như trên) thì a = 1 .

V ậy số phải tìm là 111.

Nh ận xét:

M ột số có đúng ba ước khác 1 thì số ước của nó bằng 4 ( vì tính thêm ước 1). Sử

d ụng công thức tính số ước, số đó khi phân tích ra thừa số nguyên tố phải có dạng p

ho ặc

.

p q , v ới p và q là các s ố nguyên tố khác nhau. Vì aaa = 111. a = 3.37. a và 3;37 là các s ố

nguyên t ố khác nhau nên suy ra aaa có d ạng 2 và vì thế a = 1 .

Ví d ụ 3. Tìm s ố tự nhiên x sao cho ^{14 2}  ( ^{x + 3} ) .

Vì 2 x + 3 là ước của 14 nên ^{2 x + ∈ 3} { ^{1; 2;7;14} } ^.

Vì 2 x + 3 là s ố lẻ, lớn hơn hoặc bằng 3 nên 2 x + = 3 7 hay 2 x = − = 7 3 4