DO ĐÓ 4 P + 1 3  . MÀ 4 P + > 1 NÊN 4 P + 1 LÀ H ỢP SỐ...

3 , do đó 4 p + 1 3  . Mà 4 p + > 1 3 , nên 4 p + 1 là h ợp số.

Ví d ụ 6. Tìm s ố nguyên tố biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và cũng bằng

hi ệu của hai số nguyên tố khác.

Gi ải

G ọi p là s ố nguyên tố cần tìm và p = + = − a b c d , v ới , , a b c là các s ố nguyên tố,

c > d .

Vì p = + > a b 2 nên p là s ố lẻ.

⇒ + và c − d là các s ố lẻ.

a b

• Vì a + b là s ố lẻ nên một trong hai số , a b là s ố chẵn, giả sử b ch ẵn. Vì b là s ố

nguyên t ố nên b = 2 .

• Vì c − d là s ố lẻ nên một trong hai số , c d là s ố chẵn. Vì , c d là các s ố nguyên

t ố và c > d nên d là s ố chẵn ⇒ = d 2 .

Do v ậy ^{p = + a 2 = − c 2 ⇒ = + c a 4}

Ta c ần tìm số nguyên tố a để ^{p = + a 2} và c = + a 4 cũng là số nguyên tố. Theo ví dụ 4,

ta có a = 3 .

V ậy số nguyên tố cần tìm là 5, với 5 = 3 + 2 = 7 – 2.

D ạng 3. Các bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Ví d ụ 7. Phân tích các s ố sau ra thừa số nguyên tố:

a) 2001

b) 2.9.2012

Gi ải

a) Phân tích s ố 2001 ra thừa số nguyên tố ta được: 2001 = 3.23.29

T ừ đó suy ra: ²⁰⁰¹

= ( ^3.23.29 )

^{= 3}

^.23

^.29

b) Phân tích s ố 2012 ra thừa số nguyên tố ta được: 2012 = ^{2 .503}

T ừ đó suy ra: ^2.9.2012 = 2.3 ² .2 ² .503 = 2 ³ .3 ² .503

Ví d ụ 8. Tìm n ∈ N * bi ết: 2 + 4 + 6 + … + (2n) = 756.

S ố số hạng trong vế trái là: ( ^{2 n − 2 : 2 1} ) ^{+ =} ( ^{n − + = 1} ) ^{1 n}

Khi đó: 2 + 4 + 6 + … + (2n) = ( ^{2 n + 2} ) ^{n : 2 = n n .} ( ^{+ 1} )

Phân tích s ố 756 thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp:

756 = 2 .3 .7

= 27.28

Theo đề ra, ta có: ^{n n} ( ^{+ = 1} ) ^{27.28 ⇒ = n 27}

V ậy ^{n = 27}

Ví d ụ 9. Tìm s ố tự nhiên n sao cho p = ( ^{n − 2} ) ( ⁿ

^{+ − n 5} ) ^{là s} ố nguyên tố.

T ừ p = ( ^{n − 2} ) ( ⁿ

^{+ − n 5} ) ^{suy ra n − 2 và n}

^{+ − n 5} là ước của p.

Vì p là s ố nguyên tố nên ^{n − = 2 1} ho ặc ⁿ

^{+ − = n 5 1}

N ếu n – 2 = 1 thì n = 3

Khi đó ^{p = 1. 3} (

^{+ − 3 5} ) ^{= 7 là s} ố nguyên tố (thỏa mãn).

N ếu ⁿ

^{+ − = n 5 1 ⇔ n}

^{+ = n 6 ⇔ n n} ( ^{+ = 1} ) ^{2.3 ⇒ = n 2}

Khi đó ^{p =} ( ^{2 2 .1 0 −} ) ⁼ không là s ố nguyên tố.

V ậy n = 3.

III. BÀI T ẬP