3.DỄ THẤY CHỈ CĨ 4 ĐIỂM CHIA 2 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HING VUƠNG ABCD TH...

3

.

Dễ thấy chỉ cĩ 4 điểm chia 2 đường trung bình của hing vuơng ABCD theo tỷ lệ

2

3

là

I J K H

, ,

,

. Cĩ 9 đường thẳng đia qua 4 điểm này; theo nguyên tắc Dirichlet, phải

cĩ ít nhất là 3 đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Bài tốn 4. Cho đa giác đều gồm 1999 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng 2 màu

xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành

một tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Ta cĩ đa giác 1999 cạnh nên cĩ 1999 đỉnh. Do đĩ ắt phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là

P

và

Q

được sơn bởi cùng 1 màu ( chẳng hạn màu đỏ).

Vì đa giác đã cho là đa giác đều cĩ một số lẻ đỉnh, cho nên phải tồn tại một đỉnh nào đĩ

nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

PQ

. Giả sử đỉnh đĩ là

A

.

Nếu

A

tơ màu đỏ thì ta cĩ

∆APQ

là tam giác cân cĩ 3 đỉnh

A P Q

, ,

được tơ cùng màu đỏ.

Nếu

A

tơ màu xanh. Lúc đĩ gọi

B

và

^C

là các đỉnh khác của đa giác kề với

P

và

Q

.

Nếu cả 2 đỉnh B và C được tơ màu xanh thì

∆ABC

cân và cĩ 3 đỉnh cùng tơ màu xanh.

Nếu ngược lại một ttrong hai đỉnh B hoặc C mà tơ màu đỏ thì tam giác

BPQ

hoặc tam

giác

CPQ

là các tam giác cân cĩ 3 đỉnh được tơ màu đỏ.

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG