5 CHO G LÀ MỘT NHÓM CYCLIC CẤP N SINH RA BỞI PHẦN TỬ A. CHỨNG MI...

Câu 3.5 Cho G là một nhóm cyclic cấp n sinh ra bởi phần tử a. Chứng minh

trong đó kí hiệu ước số chung lớn nhất của m và n. Áp dụng tìm tất cả các phần tử có cấp 14 trong vành

.(trong nhóm cộng

). (Đợt 1 năm 2014, đợt 1 năm 2019) Giải. Kí hiệu và

. Do

nên . Suy ra

, do (

) nên

hay . Mặt khác, do nên

. Suy ra hay . Vậy . Nhóm cộng

sinh bởi phần tử 1 (cấp 140). Giả sử phần tử có cấp 14. Khi đó Suy ra hay