3 KÍ HIỆU I LÀ SỐ ẢO, TỨC . GỌI { } LÀ NHÓM CỘNG...

Câu 3.3 Kí hiệu i là số ảo, tức . Gọi { } là nhóm cộng các số nguyên Gauss. Ta định nghĩa trên phép nhân như sau: a)Chứng minh với phép nhân định nghĩa như trên là một nhóm. Nhóm này có Abel không? b)Gọi { } . Chứng minh rằng X là một nhóm con chuẩn tắc của và nhóm thương đẳng cấu với nhóm G. (Đợt 1 năm 2013) Giải.a)Dễ dàng kiểm tra tính kết hợp, phần tử đơn vị là (0,0,0) và phần tử nghịch đảo của là

. Nhóm không Abel vì chẳng hạn, . b)Xét ánh xạ cho bởi . Khi đó f là một toàn cấu và , vì vậy X chuẩn tắc trong và .