TỪ ĐIỂM P NẰM NGOÀI ĐỜNG TRÒN TÂM O BÁN KÍNH R, KẺ HAI TIẾP TUYẾN PA;...
Bài 5:
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.
Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Giải
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác
CH
EH
=
;
(1)
CPB ta có
PB
CB
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=>
∠
POB =
∠
ACB (hai góc đồng vị)
=>
∆
AHC
∞∆
POB Do đó:
AH
PB
=
CH
OB
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của
AH
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
P
AH.CB
)
.
AH
2
=
R
−
2
(
2PB
2PB
A
⇔
AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔
4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2
E
⇔
AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
H
B
O
C
4R.2R.PB
4R.CB.PB
⇔
=
+
(2R)
4.PB
4PB
=
−
R
d
8R
2.R
−
+
4R
4(d
2
R Vậy R > DE >
2
R
từng vế ta đợc: 3DE > 2R
⇒
DE >
3