CHO ĐƯỜNG TRÒN TÂM O VÀ ĐIỂM P NẰM NGOÀI (O)
Câu 4 (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PC
của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA<PB) sao cho các điểm A, B, C nằm
cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD là
đường kính của (O).
Giải
a) Chứng minh PCMO là tứ giác nội tiếp
Ta có:
90
0
PCO = (Tiêp tuyến PC vuông góc bán kinh OC tại tiếp điểm).
PMO = (OM là đường kính vuông góc với dây AB tại trung điểm M).
6
PCO và PMO là hai góc kề nhau cùng nhìn cạnh PO một góc 90
0.
Vậy PCMO nội tiếp
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng PD. Chứng minh
AM.DE = AC.DO
Xét hai tam giác ACM và DEO
Ta có: CAM = O E D (cùng chắn cung BC) (1)
PCMO nội tiếp nên PMC = POC = Sđ PC
DOE = POC (hai góc đối đỉnh)
AMC = PMC
Suy ra AMC = DOE (2)
(1) Và (2) suy ra ACM DEO (g-g)
Vậy AM DO . .
AM DE AC DO
AC = DE =
c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.
Xét DEC và ACB
Ta có: BAC = E C D (cùng nhìn cung BC)
DE DO DE DO DC
= = = =
Chứng minh trên . . 2
2
AC AM AC AM AB
Suy ra DEC ACB (c-g-c)
DCE = CBA (hai góc tương ứng)
Và CPA = BCA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CA)
DCE = CPA
Mặt khác: PCA + AC O = 90
0
(Tiêp tuyến PC vuông góc bán kinh OC)
Suy ra DCE + AC O = 90
0
hay AC E = 90
0