BÀI TẬP VỀ QUỸ TÍCH , DỰNG HÌNH .BÀI TẬP 4A
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài tập 4a :
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh
AD và điểm N thuộc cạnh BC .
E -
A
- B
N
M
O
N’
M’
D C
HD :
F
Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có :
-
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’) .
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’).
- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng
chứng minh đợc OE =OF =OM
Cách dựng :
- Dựng M’ đối xứng với M qua O .
- Dựng N’ đối xứng với N qua O .
- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM’ . Trên d lấy E,F sao cho OE=OF=
OM .
- Dựng các đờng thẳng MN’, NM’
- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại A và NM’ tại B
- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C
- ABCD là hình vuông cần dựng .
. . . .
TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này .
Bài toán 4b :
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó .Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH . Các hình vuông này có
tâm lần lợt là O
1
,O
2
. Tìm quỹ tích trung điểm I của O
1
O
2
khi C chạy trên AB .
E
D
HD : Hạ O
1
M,IJ,O
2
N vuông
góc với AB
G
I H
O
1
O
1
MNO
2
là hình thang có IJ là đờng
O
2
trung bình nên IJ = (O
1
M +O
2
N)/2
= (AC + CB)/ 4 =const
A M J N B
I di chuyển trên phần đờng
C
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh
nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu
vi nhỏ nhất .
Giải : B N C
Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của
MN; NQ; PQ ta có :
MN = 2BE. E F
NP = 2GF. G P
QM = 2EF M
QP = 2GD
A Q D
MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD
Dấu “ =” xảy ra lúc E,F,G BD .
E BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B
G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D
Từ (1) và F BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5b :
Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lợt là hình
chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .
A
Giải :
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
DE = AM . D E
B M C
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M B
Nếu AC >AB thì M C
(1)
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C .
Bài toán 5c :
Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đờng vuông góc
với CM tại C cắt đờng thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị nhỏ
nhất .
Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K
MK = 2CI
(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )
Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I B . Lúc đó CI vừa là trung tuyến
vừa là đờng cao => MCK vuông cân .
MCB = 45
0
=> M A .
Bài toán 5d :
Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông
ACDE; CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên
đạt giá trị nhỏ nhất .
G F
Đặt AC = x => CB = a-x .
S
ACDE
+ S
CBFG
= x
2
+ (a-x)
2
E D
= 2(x -a/2)
2
+ a
2
/2 a
2