BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC .BÀI TOÁN 2A
2. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 2a :
Cho hai đờng thẳng a,b song song với nhau cách nhau một khoảng 2k cho
trớc. I là điểm cách đều hai đờng thẳng trên ; Hai cạnh của một góc vuông có đỉnh
I lần lợt cắt a tại A và cắt b tại B . Xác định góc vuông ( vị trí các tia IA; IB) để
tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất .
D x A
Giải : Có : ID = IC = k.
Đặt: AD = x .
CB = y . I
Có : C y B
S
IAB
= S
ABCD
-(S
IAD
+ S
ICB
) .
= (x +y)k - (x+y)k/2 = (x + y)k/2 .
Xét hai tam giác đồng dạng : IAD và BIC đợc :
AD/IC = ID/BC => AD.BC = ID.IC = k
2
= const
x.y = const.
Để S
IAB
nhỏ nhất => x + y nhỏ nhất => x = y => ABCD là hình chữ nhật.
Tính x,y :
Có x
2
+k
2
+ y
2
+ k
2
= 2x
2
+ 2k
2
= IA
2
+IB
2
= AB
2
= 4k
2
.
x
2
= k
2
=> x = k (do x>0).
Bài toán 2b :
Cho tam giác ABC vuông tại A .Xác định điểm M trong tam giác sao cho
tổng các bình phơng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đat giá trị
A
nhỏ nhất .
E
F
I
M
H G
C
B
ME
2
+ MF
2
+MG
2
= AM
2
+ MG
2
(AEMF là hình chữ nhật )
= AI
2
+IM
2
+ MG
2
(AIM vuông tại I )
AI
2
+ IH
2
( Dấu ‘=’ xảy ra khi M thuộc AH ) (1)
Lại có : AI
2
+ IH
2
= AH
2
- 2AI.IH .
Do AH không đổi nên ME
2
+ MF
2
+MG
2