BÀI TẬP TÍNH TOÁN
3 .Bài tập tính toán :
Bài toán 3a :
Cho hình vuông có cạnh a . Qua tâm hình vuông vẽ một đờng thẳng (d) tuỳ ý .
Chứng minh rằng tổng các bình phơng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông
đến đờng thẳng (d) không đổi .
A B
C
1
A
1
B
1
D
1
O
D C
Dễ dàng chứng minh đợc các tam giác AA
1
O, CC
1
O, OB
1
B, OD
1
D bằng
nhau, tam giác OAD vuông cân tại O . Từ đó có :
DD
1
2
+ BB
1
2
= 2OA
1
2
.
AA
1
2
+ CC
1
2
= 2AA
1
2
.
DD
1
2
+ BB
1
2
+AA
1
2
+ CC
1
2
= 2(OA
1
2
+AA
1
2
) = 2AO
2
= AD
2
= a
2
=const
Bài tập 3b :
Chứng minh rằng: Trong một hình thang ,tổng các bình phơng hai đờng
chéo bằng tổng các bình phơng hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy .
C
D
E F
Hạ AE, BF vuông góc với DC (E,F thuộc DC ).
áp dụng định lý Pitago cho
- Tam giác vuông EAC có : AC
2
= AE
2
+ EC
2
=AE
2
+EF
2
+FC
2
+2EF.FC .
- Tam giác vuông AED có AE
2
= AD
2
- DE
2
.
Đợc : AC
2
= AD
2
- DE
2
+ EF
2
+FC
2
-2EF.FC . (1)
- Tam giác vuông BFD có :BD
2
= BF
2
+ FD
2
=BF
2
+EF
2
+DE
2
+2EF.DE .
- Tam giác vuông AED có BF
2
= BC
2
- FC
2
.
Đợc : BD
2
= BC
2
- FC
2
+ EF
2
+DE
2
-2EF.DE . (2)
Cộng (1) và ( 2) đợc : AC
2
+ BD
2
= AD
2
+BC
2
+2EF
2
+ 2EF.FC+2EF.DE
= AD
2
+BC
2
+2EF(EF +FC+DE )
=AD
2
+BC
2
+2EF.DC
=AD
2
+BC
2