ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007       CHO A  B > 0. CHỨNG MINH RẰNG

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007















Cho a  b > 0. Chứng minh rằng:

2

^a

1

_a

^b

2

^b

1

_b

^a









2

2









Giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:





(1 4 )

(1 4 )

bln(1 4 ) aln(1 4 )



^{a b}

 

^{b a}





^a





^b



ln(1 4 ) ln(1 4 )

^a



^b

a

b





với x > 0.

Xét hàm số

f(x)

ln(1 4 )

^x

x

x

x

4 ln4 x ln 1 4

x

x

x

x.4 ln4 (1 4 )ln(1 4 )

 



f (x)

1 4

Ta có:

_

^

 

^









2

x

2

x (1 4 )













x

x

x

x

4 ln4

ln(1 4 )

ln(1 4 )





x (1 4 )

Nhận xét :  4

^x

< 1 + 4

^x



ln4

^x



ln(1 4 )



^x

 1 + 4

^x

> 1 

ln(1 4 ) 0



^x



Do đó f'(x) < 0, x > 0

Suy ra f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +).

Mặt khác a  b > 0 nên:

f(a)  f(b) 

ln(1 4 ) ln(1 4 )



^a





^b

a

b

(Điều phải chứng minh).