ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ DƯƠNG CỦA THAM...
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai
nghiệm thực phân biệt:
x
2
2x 8
m(x 2)
Giải
Điều kiện: m(x – 2) 0 x 2 (Do xét m > 0).
Phương trình đã cho tương đương với
x 2 x 4
m x 2
x 2 x 4
2
m x 2
x 2
x 2
x 2 x 4
2
m
0
3
2
x
6x
32 m 0
Nhận xét: Phương trình đã cho luôn có một nghiệm dương x = 2, nên từ yêu
cầu bài toán, ta chỉ cần chứng minh phương trình: x
3
+ 6x
2
32 = m (1) có một
nghiệm trong khoảng (2; +).
Xét hàm số f(x) = x
3
+ 6x
2
32, với x > 2.
Ta có: f'(x) = 3x
2
+ 12x > 0,
x 2
Bảng biến thiên:
x 2 +
f'(x) +
f(x)
+
0
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m > 0, phương trình (1) luôn có một
Vậy với mọi m > 0 phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt.