CHO CÁC SỐ THỰC DƯƠNG X, Y, Z THỎA X + Y + Z = 4. CHỨNG MINH RẰNG

Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = 4. Chứng minh rằng :

1 1 1

xy xz  

Giải:

Từ x + y + z = 4 suy ra y + z = 4 – x

Với a; b dương ta có ^{1 1 4}

a b a b  

 (*)

Ta chứng minh (*) (*) ^

4 ( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0

a b a b ab a ab b ab a ab b a b

               

ab a b



Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có ĐPCM

Áp dụng : xy xz xy xz x y z ¹  ¹  ⁴   ⁴   x  ^{4 4} x   x

^{4 4} x

    

Mà   x

4 x    x

4 x      4 4  x 2 

  4 4

1 1 1 1 4 4 4 4 1

       

Do đó :  

     

4 4 4

xy xz x y z x y z x x x x

1 1

 

   

xy xz

2 0 2

x x

   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

    

4 1

x y z y z

   

 

5. Phương pháp đổi biến

Bẳng cách dự đoán dấu “=” xảy ra rất nhiều bài toán BĐT ta đổi qua biến mới

dễ làm hơn. Chủ yếu dùng PP tương đương sau khi đổi biến.