TRONG 2021 SỐ NGUYÊN DƯƠNG ĐẦU TIÊN, CÓ BAO NHIÊU SỐ KHÔNG CHIA...

Câu 4. Trong 2021 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số không chia hết cho 7 và không chia hết cho 11? Trong các số nguyên dương từ 1 đến 2021 các số chia hết cho 7 là: 7; 14; 21; …; 2016 Do đó số các số chia hết cho 7 là: (2016 -7) : 7 + 1 = 288(số) Trong các số nguyên dương từ 1 đến 2021 các số chia hết cho 11 là: 11; 22; 33; …; 2013 Do đó số các số chia hết cho 11 là: (2013 -11) : 11 + 1 = 183 (số) Các số chia hết cho 7 và 11 là các số chia hết cho 7.11= 77 (do (7;11)=1) Trong các số nguyên dương từ 1 đến 2021 các số chia hết cho 77 là 77; 154; …; 2002 Do đó số các số chia hết cho 77 là: (2002 -77) : 77 + 1 = 26 (số) Số các số chia hết cho 7 hoặc chia hết cho 11 là: 288 + 183 – 26 = 445 (số) Vậy trong 2021 số nguyên dương đầu tiên, số các số không chia hết cho 7 và không chia hết cho 11 là 2021 – 445 = 1576 (số) 5.1 Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE và chứng minh MN // DE

A

Ta có  AEB ADB= = °90 (AD và BE là hai đường cao)

N

Và hai đỉnh D, E là hai đỉnh kề của tứ giác ABDE

E

I

Nên tứ giác ABDE nội tiếp.

F

O

ΔABE vuông tai E nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ

H

giác ABDE là trung điểm của cạnh AB.

C

D

B

 ABE ADE= (góc nội tiếp chắn ^AE)

M

 ABE AMN= (góc nội tiếp chắn MN) Do đó  ADE AMN= mà hai góc này đồng vị nên MN // DE. 5.2 Chứng minh: AE. AC. CE = CD. AB. EF ΔCDE và ΔCAB có DCE ACB = (góc chung) và CDE BAC = (cùng bù với BDE ) Nên ΔCDE ∽ ΔCAB(g.g) nên CD CE BC CACE.CA CB= ⇒ = CD (1) Tương tự ta có ΔAEF ∽ ΔABC(g.g) nên AE EF BC AB EF.AB BC= ⇒ = AE (2) Từ (1) và (2) suy ra: CACE AB EF. . CACE AE AB CD EF. . . .CD = AE ⇒ =5.3 Gọi K là trung điểm của HC. Chứng minh IHKO là hình bình hành Kẻ đường kính CJ ta có:

J

JA // BH (cùng vuông góc với AC)

I

O

JB // AH (cùng vuông góc với BC)

K

Do đó Tứ giác AHBJ là hình bình hành Mà I là trung điểm của AB nên I là trung điểm của JH Ta lại có O là trung điểm của JC nên IO là đường trung bình của ΔJHC nên IO // HC và IO= HC mà K là trung điểm của HC 2IO HK= = HCDo đó IO // HK và Suy ra IHKO là hình bình hành.

a

+

+

+

+

+

≥

+

+

b

c

a

6. Cho ba số thực dương

^a

,

^b

,

^c

. Chứng minh:

2

(

a

b

c

)

Đặt x = a ; y = b; z = c suy ra x

²

= a; y

²

= b; z

²

= c (x; y; z > 0) + + + + + ≥ + +Khi đó ta cần chứng minh x

²

y

²

y

²

z

²

z

²

x

²

2(x y z)z x yTa có:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x y y z z x x y y z z x+ + + + + = + + + + +z x y z z x x y y      + + +

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

x z y z y x x z y z y x= +  + +  + + = + +z x z y x y xz yz xz     Ta chứng minh x

³

+z

³

≥xz x z( + )(1) Thật vậy ta có: x z x z x z x z

2

2

2

− + ≥ ⇔ − − ≥( ) ( ) 0 ( )( ) 0

3

3

2

2

3

3

x z x z xz x z xz x z⇔ + − − ≥ ⇔ + ≥ +0 ( )Áp dụng (1) ta có:

3

3

3

3

3

3

( ) ( ) ( ) 2( )x z y z y x xz x z yz y z xy x y x y z+ + + + + ≥ + + + + + = + +xz yz xz xz yz xyDấu “=” xảy ra khi x = y = z

a

+

+

+

+

+

≥

+

+

khi a = b = c Vậy

2

(

a

b

c

)

__________ THCS.TOANMATH.com __________