CHO X, Y 0  , X Y 1   . TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC1...

Bài 1. Cho x, y 0  , x y 1   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1

P  xy x  y

 .(Trích tuyển 10 Khánh Hòa năm học 2012-2013-Đề không

chuyên)

Nhận xét:

-Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức

“Với x > 0, y > 0, ta có: ^{1 1 4}

x y x y  

 Dấu = khi x = y

-Vai trò x và y như nhau ^ điểm rơi tại x y ¹

  2

-Nhưng tại x y ¹

còn ¹ 1 1 ¹ . 4

  2 thì

¹

¹

2

         

x y  

xy  2 2   Đểdùng

2 2

   

BĐT trên thì số hạng thứ hai đi với

¹

x  y phải bằng 2 ^ Ta phải chia ¹

xy cho

2 khi đó được ¹ 2

2 xy 

Từ đó ta có bài giải

Với x, y 0  , ta có (x y)

0 (x y)

4xy ^{1 4}

^{1 1 4}

         

xy (x y) x y x y

 

Đẳng thức xảy ra   x y

Do đó, với x, y 0  và x y 1   , ta có

1 4 1 4

1 1 1 1 1

 

P xy x y 2xy 2xy x y

   

          

2xy 2xy x y 2xy

(Đến đây ta lại tiếp tục nhận xét : phải cần biến đổi ¹ ????

2xy  )

Ta có (x-y) ^{2 } 0 ^ x ² +y ^{2 } 2xy ^{ } x ² +y ² +2xy ^ 2xy +2xy ^ (x+y) ^{2 } 4xy

 1

1 2

1 2

1

( x y )  4 xy  ( x y )  2 xy  1  2 xy

 P ^ 2+4 = 6

x y 1

 

       

Đẳng thức xảy ra

. Vậy P

6 x y ¹

x y 2xy x y

x y 1 2

    2 .

  



II.2 Kỹ thuật tham số hóa

-Trong chứng minh bất đẳng thức đối với các biến vai trò như nhau ta thường dự

đoán điểm rơi để tách và triệt tiêu biến. Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực

trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề

dễ.Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”

Kỹ thuật đơn giản như sau. Trong bài cực trị 2 biến x;y có vai trò khác nhau ta

đặt x = ty sau đó thay vào GT của bài toán ta tính biến y theo t.

Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị 1 biến.