A) TA CÓ BEBDBF NÊN TAM GIÁC EDF NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG KÍ...

Câu 4.

a) Ta có

BE



BD



BF

nên tam giác

EDF

nội tiếp đường tròn đường kính

EF

.

Suy ra



EDF

vuông tại

D

.

Mà

AD



BD

suy ra

AD

là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

EF

.

Suy ra:

AD

²



AE AF



.

Chứng minh tương tự ta cũng có

AD

là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

GH

.

Suy ra:

AD

²



AG AH



.

Từ đó suy ra:

AE AF





AG AH



hay tứ giác

GEFH

nội tiếp.

b) Ta có

BI

là phân giác của



ABC

hay cũng chính là phân giác của



EBD

.

Mà

EB



DB

nên

BI

là trung trực của

ED

.

Suy ra

IE



ID

.

Chứng minh tương tự ta cũng có

CI

là trung trực của

GD

.

Suy ra

IG



ID

.

Từ đó

IG



IE

.

Mặt khác



AKC

nội tiếp đường tròn đường kính

AK

nên

KC



AC

hay

KC



GH

.

Mà

GC



CH

nên

KC

là trung trực của

GH

.

Chứng minh tương tự ta cũng được

KB

là trung trực của

EF

.

Suy ra

K

là giao điểm của hai đường trung trực

GH

và

EF

.

Mà tứ giác

GEFH

nội tiếp nên

K

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

GEFH

.

Do đó:

KE



KG

kết hợp với

IG



IE

suy ra

KI

là trung trực

EG

.

Mà

P



KI

nên

PE



PG

.

c) Trước hết ta chứng minh hai tam giác

PEG

và tam giác

QHF

đồng dạng với nhau.

Ta có



APK

vuông tại

P

do

P

thuộc đường tròn đường kính

AK

.

Suy ra

AP EG



do cùng vuông góc với với

PK

.

Gọi

X

là hình chiếu của

A

lên

EG

,

ta có:

PM

AX

.

EG



EG

Lại có hai tam giác

AEG

và tam giác

AHF

đồng dạng với nhau.

Nên gọi

Y

là hình chiếu của

A

lên

FH

,

ta có:

AX

AY

.

EG



FH

Suy ra

^PM

^AY

EG



EH

Ta có

BF



BD

mà

BJ

là phan giác của

FBD



nên

BJ

là trung trực của

FD



JF



JD

.

Chứng minh tương tự ta cũng được

CJ

là trung trực của

HCD





JH



JD

.

Do đó:

JF



JH

.

Mà

KF



KH

do tứ giác

GEFH

nội tiếp đường tròn tâm

K

.

Do đó

JK

là trung trực của

FH



QJ



FH

.

Từ đó

AQ FH



do cùng vuông góc với

QK

.

Suy ra

^QN

^AY

^AX

^PM

FH



FH



EG



EG

Suy ra tam giác

PME

đồng dạng với tam giác

QNF

.

Suy ra

EPI







FQN

(1) và



PEM



QFN



.

(2)

Mặt khác

^EIG



^

³⁶⁰

⁰

^

^EID



^

^GID



^

³⁶⁰

⁰

^

²

^BID



^

^CID



^

³⁶⁰

^{ }

²

^BIC

^

^

¹⁸⁰

⁰

^

^

^BAC

^.



MEI



BAC

(3)

Suy ra tứ giác

AEIG

nội tiếp. Suy ra

^

2

Tượng tự

^FJH



^

²

^BJD



^

^DCJ



^

²

^BJC

^

^

¹⁸⁰

⁰

^

^

^BAC

nên tứ giác

AFJH

nội tiếp.

NFJ



BAC

(4)

Suy ra

^

2

.

Từ (2), (3) và (4) Suy ra:

PEI





QFJ



(6)

Từ (1) và (6) suy ra hai tam giác

PEI

và tam giác

QFJ

đồng dạng.