CHO ĐƯỜNG TRÒN ( ) O VÀ DÂY CUNG MN (MN KHÔNG PHẢI LÀ Đ...

Câu 9:

Cho đường tròn ( ) O và dây cung MN (MN không phải là đường kính). Lấy điểm K

thuộc đoạn thẳng MN sao cho KM KN K N  (  ). Goi I là điểm chính giữa của cung nhỏ

MN . Đường thẳng IK cắt đường tròn ( ) O tại điểm E E I (  ). Tiếp tuyến với đường tròn

( ) O tại điểm E cắt đường thẳng MN tại F .

a) Chứng minh NKE IME    .

Ta có: NKE IEM EMN      (tính chất góc ngoài tam giác EMK ).

  

IME IMN EMN  

Ta có IEM INM    ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MI ).

Lai có I là điểm chính giữa cung MN suy ra IM IN  (hai cung bằng nhau căng 2 dây

bằng nhau).

IMN

  là tam giác cân tại I  IMN INM    (tính chất tam giác cân).

Suy ra NKE IME    .

b) Gọi P là điểm đối xứng với diểm K qua F . Đường thẳng PE cắt đường tròn ( ) O tại

điểm Q Q E (  )

Chứng minh IQ là đường kính của đường tròn ( ) O .

Ta có: FKE IEM NME      (tính chất góc ngoài tam giác)

FEK NEI FEN  

Mà: FEN NME    (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung NE

).

Trong ( ) O có: IEM IEN    (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra FEK FKE    . Suy ra tam giác FEK cân tại F suy ra FE FK  (tính chất tam giác

cân).

Mặt khác FK FP  (gt) nên 1

FE FK FP    2 PK .

Tam giác EKP có 1

FE FK FP    2 PK suy ra tam giác EKP vuông tại E .

Suy ra EK EP  hay EI PQ  , suy ra IEQ   90  nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Vậy IQ là đường kính của đường tròn ( ) O (đpcm).