XÉT KHỐI CHÓP S ABC . CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC VUÔNG CÂN TẠI A , SA VUÔNG GÓ...

Câu 44 : Xét khối chóp S ABC . có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng

cách từ A đến mặt phẳng  ^SBC  bằng 3. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ^SBC  ^và  ^ABC  ^{, tính}

cos  khi thể tích khối chóp S ABC . nhỏ nhất.

A. cos 1 .

  2 D. cos 2 .

  3

  3 C. cos 2 .

  3 B. cos 3 .

Giải

S

Đặt ^{AB AC x x  }  ^{ 0 ,}  ^{SA y y }  ^{ 0}  ^{. Gọi I} là trung điểm

của cạnh BC ^và H là hình chiếu vuông góc của A lên SI   ^{1 .}

y

H

Ta có :

   

3

BC AI BC SA    BC  SAI  BC AH BC SI  

, , 2

x

Từ     ^{1 , 2 suy ra : d A SBC}  ^,    ^{ AH  3;}

A C

α

 ^{SBC ABC ,}   ^{SI AI ,}  ^{SIA }

      .

I

B

Ta có :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1

3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2

9  AH  AI  SA  AB  AC  SA  x  x  y  x y  27  x y

4 2 2

   

3 x y 27 x y 81 3.

V  SA AB AC  x y  _min 27 3 3 3

Mặt khác : 1 . . 1 ² 27 3 .

V  2    x y

6 6 2

Suy ra :

3 3. 3 6

2 3 3. 2 3 6 ; . . . 2 9 2

BC AB SA AI

AI SI AH SA AI SI

2 2 2 2 3 2

       AH  

3 6 2 3

AI

cos .

Vậy :

  SI  

9 2 3

2

Đáp án : B