(THPT QG 2017 MÃ ĐỀ 105) XÉT KHỐI CHÓP S ABC . CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁCVUÔNG...

Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét khối chóp S ABC . có đáy là tam giác

vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 ^SBC  _{bằng 3 . Gọi } là góc giữa hai mặt phẳng  ^SBC  _và  ^ABC  _{, tính}

cos  khi thể tích khối chóp S ABC . nhỏ nhất.

cos 3 B.   2

cos 3 C.   1

cos 3 D.

A.   3

cos 2

  2

Lời giải

Đặt ^{AB  AC  x x ,}  ^{ 0}  _{. Ta có BC  AB}

_{ AC}

_{ 2 x}

Gọi ^I là trung điểm của ^AB , hạ AH  SI tại ^H

Ta có góc giữa hai mặt phẳng  ^SBC  _và  ^ABC  _{là SIA} ^· _{ góc nhọn.}

BC AI

BC SAI BC AH AH SBC

BC SA

 

Ta có ^  ^{  }   ^{   }  

Từ đó ^{AH }  ^SBC  ^{ d A SBC}  ^,    ^{ AH  3}

HI x

cos cos

AI HI

2

Xét tam giác ^AHI vuông tại ^H ta có     2 

Ta có

x x x

3 2 2 3

AH AI HI x AI

9 cos ,

         

2 2 sin 2 sin

 

Xét tam giác SAI vuông tại ^A ta có

1 1 1 1 1 sin cos

     

9 9 9

AH AI SA SA

1 1 3 1 18

3

. .

V SA S

 

SA cos

3 3 cos 2 sin

. Vậy  







9



 

cos 1 cos

 



1

t



f t 1

Đặt ^{cos   t , }  ^0;1  _{ta có}  



 

 

0 3

   

f t t

f t

1 3t

  

   

 

 

 

t ;

t  



cos 3

Vậy thể tích khối chóp S ABC . nhỏ nhất khi   3