(3,5 ĐIỂM). CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN TÂM O ĐƯỜNG KÍNH AB2R VÀ TIA TIẾ...

Câu 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại .;E MB cắt nửa đường tròn

 

^O tại D D, B.a) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Tia BC cắt Ax tại N. Chứng minh MN

²

MD MB .c) Vẽ CH vuông góc với AB H, AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.d) Lấy P là điểm đối xứng của M qua C và K là hình chiếu vuông góc của A trên PB. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm các đoạn MK và PD. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CQR tiếp xúc với đường tròn tâm O đường kính AB.Lời giải Gọi (O) là đường tròn tâm O đường kính AB. a) Ta có AB là đường kính của (O) nên MDA90

^

. Mà MA, MC là hai tiếp tuyến của (O) nên MA = MC, do đó OM là trung trực của AC nên MEA90

^

MDA, suy ra tứ giác AMDE nội tiếp. b) Ta có AB là đường kính của (O) nên NCA BCA90

^

. Mà MA = MC nên M chính là trung điểm cạnh huyền NA của tam giác vuông ANC. Đồng thời, chú ý rằng ABM là tam giác vuông tại A có đường cao AD nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có

2

2

. .MN MA MD ME

N

M

D

C

E

T

B

A

O

H

c) Gọi T là giao điểm của BM và CH, ta có CH và AN song song (cùng vuông góc với AB) nên theo định lý Ta – lét CT BT TH ,MN  BM MANhưng MN = MA nên ta có CT = TH. Vậy MB đi qua trung điểm T của CH. d) Ta có AKB90

^

nên K ∈ (O).

C

D

R

P

Q

Ta có C, Q, R lần lượt là trung điểm MP, MK, DP nên QC, CR tương ứng là đường trung bình của tam giác MKP, PDM, kéo theo QC || KP và CR || MB nên QCR MBP.Xét đường tròn (O) có MC là tiếp tuyến nên MCD MBC, suy ra hai tam giác MDC và MCB đồng dạng (góc – góc), do đó MC

²

MD MB. . Chứng minh tương tự ta cũng cóPC

²

PB PK. . Mà CP = CM nên / 2 .MB PK PK CQ/ 2PB  MD  MD  CRTừ đó ta suy ra hai tam giác QCR và MBP đồng dạng (cạnh – góc – cạnh), nên ( || )CQR BMP RCP CR MD    Suy ra CP là tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CQR. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác CQR và đường tròn (O) có chung tiếp tuyến tại C nên chúng tiếp xúc nhau.