7 315B77 7BB B11VẬY HAI SỐ A,B CẦN TÌM LÀ A = 495 VÀ B = 315 DẠNG...
45.7
315
b
7
7
7
b
b
1
Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 và b = 315
Dạng 4: Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số với ƯCLN của chúng
* Cơ sở phương pháp:
* Nếu biết BCNN (a, b) = K thì ta gọi ƯCLN(a; b) = d thì a = m.d và b = n.d với
ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b.
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Cho
a
=
1980,
b
=
2100.
a) Tìm
( )
a b
,
và
[ ]
a b
,
.
b) So sánh
[ ]
a b
,
.
( )
a b
,
với
ab
.
Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên
a
và
b
khác
0
tùy ý.
( Nâng cao và phát triển lớp 6 tập 1 – Vũ Hữu Bình)
Hướng dẫn giải
a)
1980
=
2 .3 .5.11,
2
2
2100
=
2 .3.5 .7.
2
2
ƯCLN(1980, 2100)
=
2 .3.5
2
=
60
(
1980, 2100
)
2 .3 .5 .7.11 69300.
2
2
2
BCNN
=
=
b)
[
1980, 2100 . 1980, 2100
]
(
)
=
1980.2100
( đều bằng
4158000
). Ta sẽ chứng minh
rằng
[ ]
a b
,
.
( )
a b
,
=
a b
.
Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số
riêng cũng được coi như các thừa số
CH
IN
H
P
H
Ụ
C
K
Ỳ
T
H
I H
Ọ
C S
IN
H
GI
Ỏ
I C
ẤP
H
AI
chung, chẳng hạn
a
ch
ứa thừa số
11,
b
không chứa thừa số
11
thì ra coi như
b
chứa
thừa số
11
với số mũ bằng
0
. Với cách viết này, trong ví dụ trên ta có:
2
2
0
1980
=
2 .3 .5.7 .11.
2100
=
2 .3.5 .7.11 .
(
1980, 2100
)
là tích các thừa số chung với số
mũ nhỏ nhất
2 .3 .5.7 .11
2
2
0
0
=
60
.
[
1980, 2100
]
là tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất
2 .3 .5 .7.11
2
2
2
=
69300.
Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:
[ ]
a b
,
.
( )
a b
,
=
a b
.
( )
1
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố
ở hai vế của
( )
1
chính là các thừa số nguyên tố có trong
a
và
b
.
Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các
thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau.
Gọi
p
là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử
số mũ của
p
trong
a
là
x
,
số mũ của
p
trong
b
là
y
trong đó
x
và
y
có thể bằng
0.
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
x
≥
y
.
Khi đó vế phải của
(1)
chứa
p
với số
mũ
x
+
y
. Còn ở vế trái, [a, b] chứa
p
với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ
y
nên
vế
trái cũng chứa
p
với số mũ
x
+
y
.
Cách 2. Gọi
d
=
( , )
a b
thì
a
=
da b
',
=
db′
(1)
, trong đó
( ', ')
a b
=
1.
Đặt
ab
m
d
=
( )
2
, ta cần chứng minh rằng
[ ]
a b
,
=
m
.
Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho
m
=
ax
,
m
=
by
và (x, y) = 1.
Thật vậy từ (1) và (2) suy ra
m
a
.
b
ab
'
=
d
=
,
.
a
'
.
m
b
ba
=
d
=
Do đó, ta chọn
x
=
b y
'
,
=
a
'
,
thế thì
( )
x y
,
=
1
vì
(
a b
'
,
'
)
=
1.
Vậy
ab
[ ]
a b
,
,
d
=
tức là
[ ]
a b
,
.
( )
a b
,
=
ab
.
Bài toán 2.
Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng
10
, BCNN của chúng
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
S
Ố
H
Ọ
C
bằng
900.
Gọi các số phải tìm là
a
và
b
, giả sử
a
≤
b
. Ta có
( , )
a b
=
10
nên.
a
=
10
a
'
,
b
=
10
b
'
,
'
'
( , )
a b
=
1,
a
′
≤
b
'.
Do đó
ab
=
100 ' '
a b
(1)
. Mặt khác
ab
=
[ ]
a b
,
.( , )
a b
=
900.10
=
9000
(2).
Từ
(1)
và
(2)
suy ra
a b
' '
=
90.
Ta có các trường hợp :
a
'
1
2
3
4
'
b
90
45
18
10
Suy ra:
a
10
20
50
90
b
900
450
180
100
Bài toán 3. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15
Giả sử a < b
=
.
,
;
1
a
d a
Gọi d = ƯCLN( a; b)
1
(
1
1
) (
1
1
)
⇒
=
<
=
, và d < 15
a
b
a b
b
d b
.
Nên BCNN(a; b) =
a b d
1
. .
1
Theo bài ra ta có:
d
+
a b d
1
.
1
=
15
=>
d
(
1
+
a b
1
.
1
)
=
15
=> ∈
d
U
( ) {
15
=
1;3;5;15
}
, Mà d < 15,
Nên
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒
=
⇒
=
⇒ =
hoặc
1
a
a
2
2
1
1
TH1 :
1
1
1
d
a b