12 A)CHỨNG MINH RẰNG MỘT NHÓM ABEL CẤP 6 LÀ CYCLIC. B)TÌM TẤT CẢ...

Câu 3.12 a)Chứng minh rằng một nhóm Abel cấp 6 là cyclic. b)Tìm tất cả các nhóm con của nhóm cyclic cấp 12. (Đợt 2 năm 2018) Giải.a)Ta sẽ chứng minh rằng nhóm đã cho X có phần tử cấp 6. Thật vậy, lấy . Nếu thì chỉ có 2 khả năng: . : khi đó nhóm thương 〈 〉 có cấp 3. Vậy nếu 〈 〉 thì ̅ có cấp 3. Suy ra b có cấp 3 hoặc cấp 6. Nếu b có cấp 3 thì ab có cấp 6. . : khi đó nhóm thương 〈 〉 có cấp 2. Vậy nếu 〈 〉 thì ̅ có cấp 2. Suy ra b có cấp 2 hoặc cấp 6. Nếu b có cấp 2 thì ab có cấp 6. Trong mọi trường hợp, X đều có phần tử cấp 6. Vậy X là nhóm cyclic. b)Nhóm con của nhóm cấp 12 chỉ có thể có câp 1,2,3,4,6 hoặc 12. Vậy nếu 〈 〉 thì X có các nhóm con 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 . 4.VÀNH, VÀNH ĐA THỨC, TRƯỜNG