15 CHO A VÀ B LÀ HAI MA TRẬN VUÔNG CẤP N TRÊN CÙNG MỘT TRƯỜNG K....

Câu 2.15 Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n trên cùng một trường K. Chứng minh rằng hai ma trận AB và BA có cùng tập hợp các giá trị riêng. (Đợt 2 năm 2019) Giải. Giả sử là môt giá trị riêng của AB, khi đó tồn tại mà . Khi đó hay . .Nếu thì hệ thức trên chứng tỏ là một giá trị riêng của BA. .Nếu thì từ ta có . Suy ra , do nên . Khi đó hay 0 là một giá trị riêng của BA. Vậy ta đã chứng minh, trong hai trường hợp trên, cũng là một giá trị riêng của BA. Chứng minh tương tự, mọi giá tri riêng của BA cũng là gia trị riêng của AB.