VỚI A, B LÀ CÁC SỐ THỰC DƯƠNG , TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÁT CỦA BIỂU THỨC...

2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức  

 

₃

¹

₃

^{1 1}      M a ba b b a abÁp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

 

1 1      

3

3

2

( . . ) ( )a b b a b b a ba ab a a b a a a bb b1 a b 1 1 1     a b a b a b a b

3

2

( ) 1 1       a b b a a b1 ( )b a  b a a b( )       a b a b ab a b a b a b1 1 1 1 ( )        ( )( ) 1

3

3

   a b b a ab a b ab ab a b vậyMax M=1 khi a=b=1 Câu III. ( 3 điểm ) Cho hình thoi ABCD có BAD90

⁰

. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID. a)Chứng minh rằng CBK  ABI . b)Chứng minh rằng KCKB . c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn . Hướng dẫn giải

B

C

L

G

J

I

K

D

a) Ta cóABI IBD ADI  DBK mà  CBD ADB soletrong      CBD DBK ADB IDB    CBK ADI ABIVậy CBK  AIBb)Gọi G là giao điểm của CJ và BK ta có KJG IJL  (Đối đỉnh) và IJL JBK  (Cùng phụ với BIJ) KJG JBI Mà JBIABI CBKKJG CBK Suy ra tứ giác BCKJ nội tiếp suy ra BKJBJC90

⁰

( vì ABCD là hình thoi nênAC BD hay góc BJC vuông) suy ra BK CKc)Vì tam giác IJL cân tại I ( J,L Thuộc đường tròn (I)) nên IJL ILJ mà IBJ  JBK(Theo b) và JBKJCK ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung JK) suy ra ILJJLChay ILKICK suy ra tứ giác IKCL nội tiếp suy ra 4 điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn. Câu IV. (1 điểm ) Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành a a a

₁

, , ,....,a

₂

₃

_n

mà khi chia các số a

₁

,a

₁

a

₂

,a

₁

a a

_{2 3}

,....,a

₁

a

₂

...a

_n

cho n ta được các số dư đôi một khác nhau Hướng dẫn giải: Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau: Với n là hợp số và n>4 thì (n-1)!  n Thật vậy ta có: Với n là hợp số và n>4 thì n=a.b với a,b là các số nguyên khác 1 và n. suy ra 2a b n;  1 suy ra n-1)!  n từ giả thiết ta có a

n

phải bằng n vì nếu a

n

n; a

i

=n (i^



^{1;n1 )}



^thì a a a n...

1 2

i

 điều này trái với đề bài cho.

n

Do đó a

n

=n nếu n là một số lớn hơn 4và n là hợp số . theo bổ đề trên ta có a

1

a

2...

a

n-1

=(n-1)! n mà a

1

a

2...

a

n

n do đó hai số này  chia cho n có cùng số dư là 0 điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy n4 suy ra n=4( vì n là hợp số) Xét với n =4 thì tồn tại dãy số: 1;3;2;4 có 1; 1.3; 1.3.2;1.3.2.4 khi chia cho 4 có số dư lần lượt là 1;3;2;0 thoả mãn đề bài. vậy n=4