Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x y
e e ln(1 x) ln(1 y)
y x a
Giải
Điều kiện: x, y > 1. Hệ đã cho tương đương với:
x a x
e e ln(1 x) ln(1 a x) 0 (1)
y x a (2)
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy
nhất trong khoảng (1; + ).
Xét hàm số f(x) = e x a e x ln(1 x) ln(1 a x) với x > 1.
Do f(x) liên tục trong khoảng (1; +) và
x lim f(x) 1 , lim f(x) x
nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (1; + ).
x a x 1 1
f '(x) e e
Mặt khác:
1 x 1 a x
x a a
=
e (e 1) 0, x > 1
(1 x)(1 a x)
f(x) đồng biến trong khoảng (1; + ).
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (1; + ).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Bạn đang xem bài 4: - Tải về Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề
