42 = F(1CHO HÀM
Bài 47.
4
2
=
f
(
1
Cho hàm:
y
=
x
2
+
x
+
1
x
−
1
Tìm trên trục tung các điểm mà qua nó chỉ có 1 đường tiếp tuyến đến đồ thị
hàm số trên.
Giải
Mxđ:
D
=
R
\ {1}. Có
y
=
x
2
+
x
+
1
x
−
1
=
x
+
2
+
3
x
−
1
Xét điếm
A(0;
a)
∈
Oy. Phương trình đường thẳng
d
đi qua
A
có hệ số góc
k:
y
=
kx
+
a
x
+
2
+
3
x
−
1
=
kx
+
a
(1)
Để
d
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho thì hệ pt :
có nghiệm.
1
−
3
(x
−
1)
2
=
k
(2)
Từ
(1)
có :x
+
2
+
3
x
−
1
=
k(x
−
1) +
k
+
a
(3)
+
k
+
a
⇔
1
Thay
(2)
vào
(3)
được :
x
+
2
+
3
6
(4)
x
−
1
= (x
−
1)
(x
−
1)
2
x
−
1
=
k
+
a
−
3
k
+
a
−
3
2
Thay
(4)
vào
(2)
có :1
−
3
=
k
⇔
36
−
3(k
+
a
−
3)
2
=
36k
6
⇔
f
(k) =
k
2
+
2(a
+
3)k
+
a
2
−
6a
−
3
=
0
(∗)
Để từ
A
kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho thì pt
(∗)
có nghiệm kép khác
3
−
a
hoặc có 2 nghiệm
phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng
3
−
a
12a
+
12
=
0
a
=
−1
∆
0
f
=
0
"
−12a
+
24
6=
0
a
6=
2
f
(3
−
a)
6=
0
⇔
a
=
2
12a
+
12
>
0
a
>
−1
∆
0
f
>
0
−12a
+
24
=
0
f
(3
−
a) =
0
f
(a
=
2)
Vậy có 2 điểm
A
thỏa yêu cầu bài toán là
A
(0;
−1)
;
A
(0; 2)