CHO PHƯƠNG TRÌNH

Bài 14. Cho phương trình: ^x

²

^{ 2}  ^{m  1}  ^{x  2 m}

²

^{ 3 m   1 0 , với m} là tham số (1).

a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0   m 1 .

b) Gọi x x

₁

,

₂

là hai nghiệm của phương trình (1).

i. Chứng minh

₁

₂

_{1 2}

⁹x x x x  8

.

ii. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x

₁

 x

₂

 1 .

Lời giải

a) ^x

²

^{ 2}  ^{m  1}  ^{x  2 m}

²

^{ 3 m   1 0 , với m} là tham số (1)

Có ^{  }  ^{m  1} 

²

^  ^{2 m}

²

^{ 3 m    1}  ^m

²

^{ m}

Phương trình (1) có nghiệm ^{     m}

²

^{   m 0 m m}  ^{  1}  ⁰

   0 0m m     1 0 1        0 1m m m

 

1 0 1 VN

b) Với 0   m 1 thì phương trình có hai nghiệm x x

₁

,

₂

  2 1x x m

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

2

 

2

  2 3 1x x m m

1 2

i. Ta có:

x

1

x

2

x x

1 2

 2



m 1



2m

¹

3m1

  

 m   m m m2

2

1 2 1 1

      

m m m

Vì 0   m 1 nên ^{1 0}  ^{1 2}  ¹  ⁰

  

2 1 0

m



Suy ra

¹

^

²

^

^{1 2}

^{ }



²

²

^{  1}



^2 ^1₄^

²

^{ 9}₈ ⁹₈x x x x m m m 

Dấu bằng xảy ra khi

¹m

(thỏa mãn điều kiện). Vậy

₁

₂

_{1 2}

⁹x x x x 4  8

ii. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

0 2 3 1 0 1 2 1 0 1 1 x x   m  m   m m   2 m

Ta có

x

1

x

2

 1



x

1

x

2



²

 1



x

1

x

2



²

4x x

1 2

1

 

²



²

  

²

¹4 1 4 2 3 1 1 2 1 0 m  m  m   m  m 2

(không thỏa mãn)

Vậy không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x

₁

 x

₂

 1