2 .
= + −
m m
y x
+ Nếu 2
3 2 3 2
− − . Điều
m ≠ 3 đường thẳng ( ) d có thể viết lại: 1
m m m m
kiện để ( ) d ⊥ OI là .1 1 2 3 1
3 2 2
m = − ⇔ = − ⇔ =
− . Khi đó khoảng
2 2
1 1 2
OI = + = . Vậy 1
cách
2 2 2
m = 2 là giá trị cần tìm.
c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:
+ Cách 1: Dễ thấy 2
m = 3 không thỏa mãn điều kiện (Do ( ) d không cắt
Oy ). Xét 2
m ≠ 3 , đường thẳng ( ) d cắt Ox Oy , tại các điểm A B , tạo thành
tam giác cân OAB , do góc AOB = 90 0 ⇒ ∆ OAB vuông cân tại O . Suy ra
hệ số góc của đường thẳng ( ) d phải bằng 1 hoặc − 1 và đường thẳng ( ) d
không đi qua gốc O .
= =
1 1
− ⇔
3 2 1
m m m
. Ta thấy chỉ có giá trị 1
=
m = 2 là thỏa mãn điều kiện
= −
1 2
−
3 2
m
bài toán.
Cách 2: Dễ thấy 2 , 0
m = 3 m = không thỏa mãn điều kiện
Xét 0; 2
− − .
m ≠ 3 , đường thẳng ( ) d có thể viết lại: 1
Đường thẳng ( ) d cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên
1 0 1 1 ;0 1
m x m x m A m OA m
− − − −
+ = ⇔ = ⇒ ⇒ =
m m m m m
− − , đường
thẳng ( ) d cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên
− − −
1 0; 1 1
y B OB
= − ⇒ − ⇒ = − . Điều kiện để tam giác OAB
3 2 3 2 3 2
=
− −
= ⇔ = − ⇔ = − ⇒ =
. Giá trị
cân là 1 1 1 1 1
OA OB
2
m = 1 không thỏa mãn , do đường thẳng ( ) d đi qua gốc tọa độ.
Kết luận: 1
m = 2 .
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng
( ) : d mx m + ( − 1) y − 2 m + = 1 0,( ) : (1 d − m x my ) + − 4 m + = 1 0
a) Tìm các điểm cố định mà ( ) d 1 , ( ) d 2 luôn đi qua.
b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0;4) đến đường thẳng ( ) d 1 là
lớn nhất.
c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm
quỹ tích điểm I khi m thay đổi.
d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác I AB với , A B lần lượt là
các điểm cố định mà ( ) ( ) d 1 , d 2 đi qua.
Lời giải:
a) Ta viết lại ( ) : d mx m 1 + ( − 1) y − 2 m + = ⇔ 1 0 m x y ( + − + − = 2 1 ) y 0 .
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng (d 1) luôn đi qua điểm cố định: A ( ) 1;1 .
Tương tự viết lại ( ) : (1 d 2 − m x my ) + − 4 m + = ⇔ 1 0 m y x ( − − + + = 4 1 ) x 0
suy ra ( ) d 2 luôn đi qua điểm cố định: B ( − 1;3 ) .
b) Để ý rằng đường thẳng ( ) d 1 luôn đi qua điểm cố định: A ( ) 1;1 . Gọi
H là hình chiếu vuông góc của P lên ( ) d 1 thì khoảng cách từ A đến ( ) d 1
là PH PA ≤ . Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi
( ) 1
P H ≡ ⇔ PH ⊥ d .Gọi y ax b = + là phương trình đường thẳng đi qua
a b b
+ = =
( ) ( ) 0;4 , 1;1
P A ta có hệ : .0 4 4
+ = ⇒ = −
.1 1 3
a b a
suy ra phương trình đường
thẳng PA y : = − + 3 x 4 .
Xét đường thẳng ( ) : d 1 : mx m + ( − 1) y − 2 m + = 1 0 . Nếu m = 1 thì
( ) d x 1 : − = 1 0 không thỏa mãn điều kiện. Khi m ≠ 1 thì:
( ) 1 : 2 1
d y x
− − . Điều kiện để ( ) d 1 ⊥ PA là
( ) 3 1 1
m − = − ⇔ =
1 4
− .
c) Nếu m = 0 thì ( ) d 1 : y − = 1 0 và ( ) d 2 : x + = 1 0 suy ra hai đường
thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I ( − 1;1 ) . Nếu m = 1 thì
( ) d 1 : x − = 1 0 và ( ) d 2 : y − = 3 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông
góc với nhau và cắt nhau tại I ( ) 1;3 . Nếu m ≠ { } 0;1 thì ta viết lại
− −
( ) 1 : 2 1
= + . Ta thấy
− − và ( ) d 2 : y m 1 x 4 m 1
− = −
(d 2 ) (d 1 )
−
1
I
nên ( ) ( ) d 1 ⊥ d 2 .
Do đó hai đường thẳng này luôn cắt
nhau tại 1 điểm I .
Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai
A
H K B
đường thẳng ( ) ( ) d 1 , d 2 luôn vuông góc
và cắt nhau tại 1 điểm I . Mặt khác theo
câu a) ta có ( ) ( ) d 1 , d 2 lần lượt đi qua 2
điểm cố định A B , suy ra tam giác I AB vuông tại A . Nên I nằm trên
đường tròn đường kính AB .
d) Ta có AB = ( − − 1 1 ) ( 2 + − 3 1 ) 2 = 2 2 . Dựng IH ⊥ AB thì
Bạn đang xem 2 . - Chuyên đề hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai ôn thi vào lớp 10 -
