CHO P LÀ SỐ TỰ NHIÊN KHÁC 0. GỌI X X1, 2 LÀ HAI NGHIỆM CỦA PHƯ...

Bài 9. Cho

p

là số tự nhiên khác 0. Gọi x x

₁

,

₂

là hai nghiệm của phương trình x

²

 5 px   1 0 ;

x x là hai nghiệm của phương trình x

²

 4 px   1 0 . Chứng minh rằng tích

3

;

4

 x

1

 x

3

 x

2

 x

3

 x

1

 x

4

 x

2

 x

4

 là một số chính phương.

Lời giải

Ta có: ^x

²

^{ 5 px   1 0 1 ;}   ^x

²

^{ 4 px   1 0 2}  

Từ (1); (2) theo hệ thức vi-ét, ta có: x

₁

 x

₂

  5 ; p x x

_{1 2}

  1

x x p x x

3



4

  4 ;

3 4

  1

 x

1

 x

3

 x

2

 x

3

 x

1

 x

4

 x

2

 x

4





1

3



2

4



2

3



1

4



 x  x x  x x  x x  x



1 2

1 4

3 2

3 4



1 2

2 4

1 3

3 4



 x x  x x  x x  x x x x  x x  x x  x x



1 4

2 3



2 4

1 3



 x x  x x x x  x x

x x x x x x x x x x x x

2

2

2

2

1 2 4

1

3 4

3 4 2

1 2 3

  x x x x

(vì x x

_{1 2}

  1; x x

_{3 4}

  1 )

4

1

2

3



⁴

²

²

³

²

 

¹

²

²

²

²



   x x  x  x

Mà 2      1    2 2 x x

1 2

;2      1    2 2 x x

3 4

Suy ra (*)





x

1

x

2

 

²

 x

3

x

4



²

 p  p

2

2

25 16

 

³

²

 p 

Điều phải chứng minh