CHO A, B, C LÀ ĐỘ DÀI 3 CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC CÓ CHU VI BẰNG 2. TÌM GI...
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3
3
4(
) 15
P
a
b
c
abc
.
Giải:
Có
a
2
a
2
(
b c
)
2
(
a b c a b c
)(
)
(1) ,
b
2
b
2
(
c a
)
2
(
b c a b c a
)(
)
(2)
c
2
c
2
(
a b
)
2
(
c a b c
)(
a b
)
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
a
b
c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có:
abc
(
a b c b c
)(
a c
)(
a b
)
(*)
Từ
a b c
2
nên (*)
abc
(2 2 )(2 2 )(2 2 )
a
b
c
8 8(
a b c
) 8(
ab bc ca
) 9
abc
0
8 9
abc
8(
ab bc ca
)
0
9
abc
8(
ab bc ca
)
8
(*)
10
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư
Ta có
a
3
b
3
c
3
(
a b c
)
3
3(
a b c ab bc ca
)(
) 3
abc
8 6(
ab bc ca
) 3
abc
Từ đó
4(
a
3
b
3
c
3
) 15
abc
27
abc
24(
ab bc ca
) 32
3 9
abc
8(
ab bc ca
)
32
(**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta
4(
a
3
b
3
c
3
) 15
abc
3.( 8) 32
8
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
a
b
c
3
.
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
2
a
b
c
3