1 .
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với d 1 , d 2 .
b) Tìm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho A, M, N thẳng hàng.
Lời giải.
a) Đường thẳng d 1 qua M 1 (0; 1; −1) và có vectơ chỉ phương − → u 1 = (2; 1; −1).
Đường thẳng d 2 qua M 2 (1; −1; 2) và có vectơ chỉ phương − → u 2 = (1; −2; 1).
Mặt phẳng (P ) qua A(0; 1; 2) và nhận [ − → u 1 , − → u 2 ] = (−1; −3; −5) làm vectơ pháp tuyến.
Do đó (P ) có phương trình x + 3y + 5z − 13 = 0.
Vì M1, M 2 ∈ / (P ) : x + 3y + 5z − 13 = 0 nên (P ) : x + 3y + 5z − 13 = 0 là mặt phẳng cần tìm.
b) Ta có N ∈ d 1 ⇒ N (2t 1 ; 1 + t 1 ; −1 − t 1 ), N ∈ d 2 ⇒ N (1 + t 2 ; −1 − 2t 2 ; 2 + t 2 )
Suy ra −−→
AM = 2t 1 ; t 1 ; −3 − t 1 , −−→
AN = (1 + t 2 ; −2 − 2t 2 ; t 2 ).
h −−→
i
= (−t 1 t 2 − 2t 1 − 6t 2 − 6; −3t 1 t 2 − t 1 − 3t 2 − 3; −5t 1 t 2 − 5t 1 ).
AM , −−→
AN
−t 1 t 2 − 2t 1 − 6t 2 − 6 = 0
t 1 = 0
⇔
−3t 1 t 2 − t 1 − 3t 2 − 3 = 0
Khi đó A, M, N thẳng hàng ⇔ h −−→
= − →
0 ⇔
t 2 = −1 .
−5t 1 t 2 − 5t 1 = 0
Vậy M (0; 1; −1) và N (0; 1; 1).
Bài tập 6.51. (D-03) Trong không gian Oxyz, cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x+3ky−z+2 =
0 và (Q) : kx − y + z + 1 = 0. Tìm k để d vuông góc với (α) : x − y − 2z + 5 = 0.
Lời giải. Mặt phẳng (P ), (Q) và (α) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−→ n (P ) = (1; 3k; −1), −−→ n (Q) = (k; −1; 1), −−→ n (α) = (1; −1; −2)
1 − 3k + 2 = 0
−−→ n (P ) . −−→ n (α) = 0
Khi đó d⊥ (α) ⇔
−−→ n (Q) . −−→ n (α) = 0 ⇔
k + 1 − 2 = 0 ⇔ k = 1.
Bài tập 6.52. (D-02) Trong không gian Oxyz, cho (P) : 2x − y + 2 = 0 và d là giao tuyến hai mặt phẳng
(α) : (2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0 và (β ) : mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0. Xác định m để d song
song với (P ).
Lời giải. Mặt phẳng (P ), (α) và (β) lần lượt có vectơ pháp tuyến
−−→ n (P ) = (2; −1; 0), −−→ n (α) = (2m + 1; 1 − m; 0), −−→ n (β) = (m; 0; 2m + 1)
Khi đó d nhận − → u d = −−→ n (α) , −−→ n (β)
=
làm vectơ chỉ phương.
(1 − m)(2m + 1); −(2m + 1) 2 ; −m(1 − m)
Lấy M (0; 1; −2) ∈ d, ta có M ∈ (P ) nên
d||(P ) ⇔ − u → d . −−→ n (P ) = 0 ⇔ 2(1 − m)(2m + 1) + (2m + 1) 2 = 0 ⇔ m = − 1
2
Bài tập 6.53. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) và mặt phẳng (P ) :
x + y + z − 20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song
với mặt phẳng (P ).
Lời giải. Đường thẳng AB qua A(2; 1; 0) và nhận − − →
AB = (−1; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.
x = 2 − t
Do đó AB có phương trình
.
y = 1 + t
z = 2t
Ta có D ∈ AB ⇒ D(2 − t; 1 + t; 2t) ⇒ −−→
CD = (1 − t; t; 2t).
5
Nhận thấy C / ∈ (P ) nên CD||(P ) ⇔ −−→
CD. −−→ n (P) = 0 ⇔ 1 − t + t + 2t = 0 ⇔ t = − 1
2 ; 1
2 ; −1
Bạn đang xem 1 . - DAP AN CHUYEN DE TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
