4 . Viết
phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.
x = −3 + 2t
Lời giải. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương − → u = (2; −1; 4) và phương trình tham số
.
y = 1 − t
z = −1 + 4t
Giả sử ∆ ∩ d = M, ta có M (−3 + 2t; 1 − t; −1 + 4t) ⇒ −−→
AM = (1 + 2t; 3 − t; −5 + 4t).
AM = (3; 2; −1).
AM . − → u = 0 ⇔ 2 + 4t − 3 + t − 20 + 16t = 0 ⇔ t = 1 ⇒ −−→
Lại có ∆⊥d nên −−→
Đường thẳng ∆ qua A (−4; −2; 4) và nhận −−→
AM = (3; 2; −1) làm vectơ chỉ phương.
x = −4 + 3t
Vậy ∆ có phương trình
y = −2 + 2t
z = 4 − t
Bài tập 6.58. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : x + 2
−1 và (P ) : x + 2y − 3z + 4 = 0.
1 = y − 2
1 = z
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.
Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (1; 2; −3).
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương − → u = (1; 1; −1).
x + 2
x = −3
⇒ M (−3; 1; 1).
−1
⇔
Tọa độ giao điểm M của ∆ và (P ) là nghiệm hệ
y = 1
x + 2y − 3z + 4 = 0
z = 1
Đường thẳng d qua M(−3; 1; 1) và nhận [ − → n , − → u ] = (1; −2; −1) làm vectơ chỉ phương.
x = −3 + t
Vậy d có phương trình
y = 1 − 2t
z = 1 − t
x = −1 + 2t
Bài tập 6.59. (A-07) Trong không gian Oxyz, cho d 1 : x
y = 1 + t
−1 = z + 2
2 = y − 1
1 và d 2 :
z = 3
a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau.
b) Viết phương trình d vuông góc với (P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 .
Lời giải.
a) Đường thẳng d 1 qua M 1 (0; 1; −2) và có vectơ chỉ phương − → u 1 = (2; −1; 1).
Đường thẳng d 2 qua M 2 (−1; 1; 3) và có vectơ chỉ phương − → u 2 = (2; 1; 0).
M 1 M 2 = 1 + 0 + 20 = 21 6= 0.
M 1 M 2 = (−1; 0; 5) ⇒ [ − → u 1 , − → u 2 ] −−−−→
0 , −−−−→
Ta có [ − → u 1 , − → u 2 ] = (−1; 2; 4) 6= − →
Do đó d 1 và d 2 chéo nhau.
b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (7; 1; −4).
Giả sử d ∩ d 1 = M, d ∩ d 2 = N , ta có M(2t 1 ; 1 − t 1 ; −2 + t 1 ), N (−1 + 2t; 1 + t; 3).
i
= (−3t 1 − 4t − 5; −15t 1 + 8t + 31; −9t 1 − 5t − 1).
M N , − → n
M N = (−1−2t 1 +2t; t 1 +t; 5−t 1 ) ⇒ h −−→
Suy ra −−→
−3t 1 − 4t − 5 = 0
t 1 = 1
h −−→
−15t 1 + 8t + 31 = 0
0 ⇔
= − →
Lại có d⊥(P ) nên
t = −2 ⇒ M (2; 0; −1).
−9t 1 − 5t − 1 = 0
Đường thẳng d qua M(2; 0; −1) và nhận − → n = (7; 1; −4) làm vectơ chỉ phương.
x = 2 + 7t
y = t
z = −1 − 4t
Bài tập 6.60. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x − 2
−1 = y + 1
−1 = z + 1
1 và mặt
phẳng (P) : 2x + y − 2z = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong (P ) vuông góc với d tại giao điểm của d và (P ).
Viết phương trình đường thẳng ∆.
Lời giải. Tọa độ giao điểm M của d và (P ) là nghiệm hệ
x = 1
x − 2
1
⇒ M(1; −2; 0)
y = −2
2x + y − 2z = 0
z = 0
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương − → u = (−1; −1; 1), (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (2; 1; −2).
Đường thẳng ∆ qua M(1; −2; 0) và nhận [ − → u , − → n ] = (1; 0; 1) làm vectơ chỉ phương.
x = 1 + t
z = t
§4. Hình Chiếu
Bài tập 6.61. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 4; 2) và mặt phẳng (α) : x + y + z − 1 = 0. Tìm
toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (α). Tìm toạ độ điểm A 0 đối xứng với A qua (α).
Lời giải. Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến − → n = (1; 1; 1).
Đường thẳng AH qua A(1; 4; 2) và nhận − → n = (1; 1; 1) làm vectơ chỉ phương.
Do đó AH có phương trình
y = 4 + t
z = 2 + t
x = −1
y = 2
⇒ H(−1; 2; 0).
Tọa độ H thỏa mãn hệ
x + y + z − 1 = 0
t = −2
Điểm A 0 đối xứng với A qua (α) ⇔ H là trung điểm AA 0 ⇒ A 0 (−3; 0; −2).
Bài tập 6.62. Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) và ∆ : x − 2
1 = y − 1
2 = z
Bạn đang xem 4 . - DAP AN CHUYEN DE TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
