1 2 2;3;6 2; 3; 6Α . PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( ) Α LÀ

1 , 1 2 2;3;6 2; 3; 6

α .

Phương trình mặt phẳng ( ) ^α là: 2 x − 3 y − 6 z + = 7 0 .

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm

1

x

 =

 = −

x y z

: 1 2

d y t

và

: ^{1 1}

A − và ( ) P song song với hai đường thẳng ₁

(1;0; 2)

d − = = − .

  = +

1 2 2

z t



Lời giải

Đường thẳng d

đi qua điểm M

(1;1;1) vectơ chỉ phương u  ₁ (0; 2;1) −

.

Đường thẳng d

đi qua điểm M

(1;0;1) vectơ chỉ phương u  ₂ (1;2;2)

Ta có   u u   ₁ , ₂  = −  ( 6;1;2)

Gọi n 

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P , ta có:

 

 ⊥ 

n u

cùng phương với   u u   ₁ , ₂  

  nên n 

 ⊥



2

Chọn n  = − ( 6;1;2)

ta được phương trình mặt phẳng ( ) P là:

6( x 1) 1( y 0) 2( z 2) 0

− − + − + + =

6 x y 2 10 0 z

⇔ − + + + = .

Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm

1 2 5

M( ; ; ) − − và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) : Q x + 2 y − 3 1 0 z + = và

( ) : 2 R x − 3 y z + + = 1 0 .

VTPT của ( ) Q là n  _Q (1;2; 3) −

, VTPT của ( ) R là n  _R (2; 3;1). −

Ta có   n n   _Q , _R  = − − −  ( 7; 7; 7)

nên mặt phẳng ( ) P nhận n  (1;1;1)

là một VTPT và ( ) P đi qua

điểm M( ; ; ) − − 1 2 5 nên có phương trình là: x y z + + − = 2 0 .

Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt

phẳng ( ) : Q x + 2 y − 2 z + = 1 0 và cách ( ) Q một khoảng bằng 3.

Trên mặt phẳng ( ) : Q x + 2 y − 2 z + = 1 0 chọn điểm M( ; ; ) − 1 0 0 .

Do ( ) P song song với mặt phẳng ( ) Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

2 2 0

x + y − z D + = với D  1 .

  

8

D

| 1 | 3

   

    

Vì d P Q (( ),( )) 3   d M P ( ,( )) 3 

10

1 2 ( 2)

2 2 2

   ^{   | 1 D | 9 }

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x + 2 y − 2 z − = 8 0 và x + 2 y − 2 z + 10 0 = .

Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt

phẳng ( ) : Q x + 2 y − 2 z + = 1 0 và ( ) P cách điểm M( ; ; ) 1 2 1 − một khoảng bằng 3.

4

|1 4 2 | 3

  

 

Vì d M P ( ,( )) 3 

14

   ^{   | 5 D | 9 }

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x + 2 y − 2 z − = 4 0 và x + 2 y − 2 z + 14 0 = .

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) P song song với mặt

phẳng ( ) : Q x + 2 y − 2 z + = 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) : S x ² + y ² + z ² + 2 x − 4 y − 2 3 0 z − =

Mặt cầu ( ) ^S có tâm I ( 1;2;1)  và bán kính R   ( 1) ²     2 ² 1 ² 3 3

Vì ( ) P tiếp xúc với mặt cầu ( ) ^S nên

| 1 4 2 | 3

   

( ,( )) 3

d I P   R

   ^{  |1 D | 9 }

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x + 2 y − 2 10 0 z − = và x + 2 y − 2 z + = 8 0 .

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P và đường thẳng d lần lượt có

d x + = + = − y z . Viết phương trình mặt phẳng

phương trình ( ) P x : + 2 y z − + = 5 0 và : ¹ 1 3

( ) Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( ) P một góc 60 ⁰ .

Giả sử mặt phẳng ( ) Q có dạng Ax By Cz D + + + = 0 ( ^A

^{+ B}

^{+ C}

^{≠ 0 .} )

Chọn hai điểm M ( − − 1; 1;3 , ) ( N 1;0;4 ) ∈ d .

A B C D C A B

 − + − + + =  = − −

⇒     + + + = ⇒  = + 

Mặt phẳng ( ) Q chứa d nên M N , ∈ ( ) Q . 1 ( ) ( ) 1 .3 0 2

7 4

D A B

A B C D

.1 .0 .4 0

Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax By + + − ( 2 A B z − ) + 7 A + 4 B = 0 và có VTPT



( ; ; 2 ) .

n Q = A B − A B −

( ) Q tạo với mặt phẳng ( ) P một góc

2 2 cos(60 ) 1

A B A B

+ + +

0

⇒ = =

(2 ) 1 2 ( 1) 2

A B A B

60 0 ^{2 2 2}

+ + + + + −

(4 2 3) B

A

⇔ = ±

Cho B = 1 ta được A = (4 2 3). ±

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng

( )

(4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0

x y z

− + + − + + − =

+ + + − − + + =

B. BÀI TẬP