ĐẶT A = P2− PQ+2Q2VÀ B =2P2+ PQ Q+ 2. XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP
Câu 70. Đặt A =
p
2
−
pq
+
2
q
2
và B =
2
p
2
+
pq q
+
2
. Xét các trường hợp:
+)
p
= =
q
2
, không thoả mãn.
+)
p
=
2,
q
≥
3,
khi đó
(
A B
,
)
=
(
4 2
−
q
+
2
q
2
,8 2
+
q
+
q
2
)
=
(
2
− +
q
q
2
,8 2
+
p
+
q
2
)
(vì
8
+
2
p
+
q
2
2
)
=
(
6 3 ,8
+
q
+
2
q
+
q
2
)
=
(
2
+
q
,8
+
(
2
+
q q
)
)
, (vì
8
+
2
p
+
q
2
3
)
CH
U
Y
ÊN
Đ
Ề
SỐ
H
Ọ
C
= d.
Suy ra d lẻ và d
8
. Do đó d = 1.
+)
q
=
2,
p
≥
3,
khi đó
(
A B
,
)
=
(
p
2
−
2 p 8, 2 p
+
2
+
2
p
+
4
)
=
(
p
2
−
2 p 8, p
+
2
+ +
p
2 ,
)
(vì
p
2
−
2
p
+
8 2
)
=
(
3
p
−
6,
p
2
+ +
p
2
)
=
(
p
−
2,
p
2
+ +
p
2 ,
)
(vì
p
2
+ +
p
2 3
)
=
(
p
−
2,
p
2
+
4
)
=
−
−
+
p
p
p
(
2,
(
2
)
2
4
)
=
.
d
Suy ra d
4
p
, d lẻ và
d
<
p
.
Do đó d = 1.
+)
p q
,
≥
3,
. Vì
p q
,
đều là số lẻ nên
p
+
q
và
p
−
q
là các số chẵn. Suy ra
(
)
2
2
2
A
=
p p
−
q
+
q
và
B
=
2
p
2
+
q q
(
+
p
)
2.
Vậy A và B không nguyên tố cùng nhau.
Tóm lại:
p
=
2,
q
≥
3,
q
nguyên tố hoặc
q
=
2,
p
≥
3,
p
nguyên tố.